9-я международная Иранская олимпиада по геометрии, 2022 год, вторая лига, 9-10 классы

Радиустары тең $\omega_1$ және $\omega_2$ шеңберлері $E$ және $X$ нүктелерінде қиылысады. $\omega_1$ және $\omega_2$ шеңберлерінде сәйкесінше $C$ және $D$ нүктелері алынған. $E$ арқылы өтетін әрі $XC$ және $XD$ түзулеріне параллель түзулер $\omega_2$ және $\omega_1$-ді сәйкесінше $A$ және $B$ нүктелерінде қияды. $CD$ түзуі $\omega_1$ және $\omega_2$-ні екінші рет сәйкесінше $P$ және $Q$ нүктелерінде қияды. $ABPQ$ — іштей сызылған төртбұрыш екенін дәлелдеңіз.

Комментарий/решение

Очевидно, что $AECX$ - параллелограмм, так как $AE||CX$ и $AX=EC$ из-за равенства окружностей, так же определяется, что $DEBX$ - параллелограмм. Пусть $F$ - середина $EX$, тогда пары точек $C$ и $A$, $D$ и $B$ симметричны относительно $F$, поэтому $ABCD$ - параллелограмм и $AB||PQ$. Пусть $Q'=AB \cap \omega_1$, $P'=AB \cap \omega_2$. Тогда из-за симметрии $PQP'Q'$ - параллелограмм. Значит $PQ'=DA=CB=QP'$, тем самым $ADPQ'$ и $CBP'Q$ - симметричные относительно $F$ равнобокие трапеции, тогда $BQ=AP$, из-за чего $ABPQ$ - вписанный.