9-я международная Иранская олимпиада по геометрии, 2022 год, вторая лига, 9-10 классы

На рисунке ниже дано $AX = BY$. Докажите, что $\angle XDA = \angle CDY$.

Комментарий/решение

Пусть О-центр окружности $w$.Тогда $\angle OYA=90$, $\angle ODA=90$,$OD=OY$ $\Leftrightarrow$ $OYAD$ квадрат.$OY=AD$ $\Leftrightarrow$ $\triangle ADX= \triangle BOY$ $\Leftrightarrow$ $\angle XDA= \angle BOY$.$BY=BC$(две касательные).Пусть $OB$ пересекает окружность в точке $Z$.Дуга $YZ$ в 2 раза больше дуги $CY$ $\Leftrightarrow$ $\angle CDY= \angle BOY= \angle XDA$

Пусть О-центр данной окружности .Проведем DO,CO,BO.Заметим,что DXBO-ПАРАЛЛЕЛОГРАММ.(DO=AY=AX+XY=BY+XY=BX И AB параллельно DO ведь угол BAD=углу ADO=90.)Пусть угол ADX=x => угол DXB=90+x по свойству параллелограмма угол XBO=180-(90+x)=90-x.BO-биссектриса угла YBC(треугольник OYB=треугольнику OCB по трем сторонам)=>угол OBX=углу OBC=90-x=>угол BOC=x.угол DXB=углу DOB=90+x по свойству параллелограмма.=>угол DOC=90+2x,но треугольник DOC-р/б =>угол ODC=(180-(90+2x))/2=45-x.угол DAY=угол AYO=90 и DO=OY =>ADOY- itaквадрат => угол YDO=45 =>

угол CDY=45-угол CDO =>угол CDY=45-(45-x)=x=угол ADX все $$

$$а я пон как офрмлять$$

$\text{Проведём } OB, DY, YC, OC, DO, YO.$

$\text{Заметим, что } YO = AD,\; YB = AX,\; \angle DAX = \angle OYB = 90^\circ.$

$\text{То есть } \angle YOB = \angle ADX = \alpha.$

$\text{Так как } OYBC \text{ --- вписанный, то } \angle YCB = \angle CEB = \alpha.$

$\text{Следовательно, } \angle CDY = \angle YCB = \angle CEB = \alpha,\; \text{что и требовалось доказать}.$