Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

9-я международная Иранская олимпиада по геометрии, 2022 год, первая лига, 7-8 классы


Теңбүйірлі ABCD (ABCD) трапециясы берілген. BC және AD қабырғаларында сәйкесінше E және F, ал EF кесіндісінде M және N нүктелері DF=BE және FM=NE болатындай белгіленген. K және L нүктелері — M және N нүктелерінен сәйкесінше AB және CD түзулеріне түсірілген перпендикулярлар табандары. EKFL төртбұрышы параллелограмм екенін дәлелдеңіз.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

  3
1 года 9 месяца назад #

Базовые свойства равнобедренной трапеции

*Равны углы при основании

*Отрезок, соеднияющий середины оснований, перпендикулярен этим основаниям

*Сумма углов, прилегающих к боковой стороне, равна 180 (для любой трапеции)

1)Пусть O - середина отрезка AB, R - середина отрезка DC. Тогда можно ввести прямоугольную декартовую систему координат xOy, такую, что OxOB и OyOR.

2)Следующий шаг - задаем координаты трапеции, учитывая базовые свойства выше

A(a;0);B(a;0);C(d;c);D(d;c);O(0;0);R(0;c)

3)Задаем иксовую координату точке F. Вычисляем игрековую координату

xF=f;xAxFxD

tanA=yFxF=yDyAxDxA

yF=xFyDyAxDxA=cfda

4)Выполним дополнительное построение:опустим перпендикуляр из точки F на прямую CD, получим на пересечении точку F1. Аналогично опустим перпендикуляр из точки E на прямую AB, получим на пересечении точку E1.

5)Треугольники ΔFF1D и EE1B равны по гипотенузе и острому углу. (EB=FD по условию. B=180D=F1DF - равенство острых углов треугольников)

6)Из (5) понятно, что F1D=E1B

xE=xBE1B=xBF1D=xB(xDxF1)=xB(XDxF)

xE=af+d

7)Вычисляем игрековую координату Точки E

FF1=EE1yDyF=yEyE1yE=yDyF+yE1=ccfda+0

yE=c(daf)da

8)Пусть разность координат точек F и M будет равна m. Тогда

xM=xF+m=f+m=xK;yK=0

В силу FM=NE (условие), выходит посчитать и координату точки N:

xN=xEm=a+dfm=xL;yL=c

9)Вычислим векторы KF и EL. Если они равны, то на этих векторах можно построить параллелограмм KFLE (Потому что равенство векторов означет их параллельность и равенство модуля. В тоже время у параллелограмма тоже противолежащие стороны параллельны и равны)

KFx=f(mf)=m

ELx=a+dmf(a+df)=m

KFy=cfda0;ELy=cc(daf)da=cfda

Равенство компонент векторов доказывает равенство векторов целиком, что завершает доказательство

  4
1 года 9 месяца назад #

Пусть XY-средняя линия XAD, YBC тогда XF=YE так как DF=BE, так же если O середина MN, тогда OM=ON и OF=OE(1) и если TXYLN, HMKXY тогда TN=MH но так как TL=KH значит KM=LN откуда OL=OK и лежат на одной прямой, учитывая (1) получается EKFL параллелограмм

  1
1 года 9 месяца назад #

Отличное решение !