Областная олимпиада по математике, 2023 год, 11 класс

Найдите все монотонные функции $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ такие, что $$f\left(\frac{x+y}{2023}\right)=\frac{f(x)+f(y)}{2}.$$

Комментарий/решение

Условие задачи у 11 класса иное, слева под $x+y$ стоит $2023$.

Спасибо! Исправили

Пусть $x=\frac{x+y}{2023}$ и пусть $2022x=y$, поэтому $f(x)=\frac{f(2022x)+f(x)}{2}$ то есть $f(x)=f(2022x)$ и учитывая, что это монотонная функция становится понятно что $f(x)=c$.

Подставим $P(2023x,0)$ и получим что $2f(x)=f(2023x)+f(0)$, и подставим $P(2023x,2023y)$ и получим что $2f(x+y)=f(2023x)+f(2023y)$ и из первого полученного факта тут мы получаем что $$f(x+y)+f(0)=f(x)+f(y)$$

Тут явно нужно делать замену по типу $f(x)=g(x)+c$ (функция тоже монотонная) где $c=f(0)$, то есть константа. Получим что $g(x+y)=g(x)+g(y)$, и так как $g$ монотонна, в силу можно использовать функцию Коши и получить $g(x)=ex$ и $f(x)=ex+c$, подставим под изначальное уравнение и получим что $f(x)=c$.