Математикадан аудандық олимпиада, 2022-2023 оқу жылы, 10 сынып

Кез келген нақты $a$, $b$ сандары үшiн келесi теңсiздiктi дәледеңiз $a^2 + 141ab + 5476b^2 \ge 5a + 1364b - 512.$

Комментарий/решение

Шешуі: 1) Алдымен а мен b-ның қандай мәндерінде теңдік орындалатынын анықтайық

а2+141аb+5476b2 = 5а+1364b-512

b=1, а2 +136а+4624 = ( а+68)2

( а+68)2 =0 ⇒ а = -68, яғни а = -68, b = 1 болғанда теңдік орындалады.

2) Берілген теңсіздікті түрлендіріп жазайық.

( а-74b)2 +512>5а + 1364b – 289аb. Егер а – 74b = 0 болса,

онда min ((а-74b)2 +512) = 512

3) а = 74b. 10693b2 – 867b + 256>0

өйткені Д <0

b = 1/74 а, 289а2 – 1734а + 37888>0

өйткені Д <0

Қорытынды : а ≠ 74b, b ≠ 1/74 а жағдайда ( а-74b)2 >0, демек а мен b- ның кез-келген мәндерінде берілген теңсіздік орындалады. д.к.о.е.

Амангелді Садыков