Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

Олимпиада имени Леонарда Эйлера 2022-2023 учебный год, II тур дистанционного этапа


BM — сүйірбұрышты ABC үшбұрышының медианасы. C бұрышының биссектрисасы A нүктесі арқылы өтетін және BC-ға параллель түзуді X нүктесінде қияды. Егер BM=MX болса, BC>AC екенін дәлелдеңіз. ( С. Берлов )
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.    
Решение. Проведем в треугольнике ABC высоту AH. Утверждение задачи немедленно вытекает из равенства AC=BH, которое мы и будем доказывать. Проведем медиану MD равнобедренного треугольника BMX. Она является средней линией трапеции (или параллелограмма) AXBC, и потому параллельна прямым BC и AX. Так как эта медиана является в BMX также и высотой, прямая BX перпендикулярна ей, а потому и прямым BC и AX. Следовательно, BXAH — прямоугольник, откуда BH=AX. С другой стороны, CXA=XCB=XCA, откуда AC=AX=BH, что нам и требовалось.