8-я международная Иранская олимпиада по геометрии, 2021 год, вторая лига, 9-10 классы
Комментарий/решение:
Пусть IN∩MT=J, S диаметрально противоположна M, линия, проходящая через I, перпендикулярная AI, пересекает BC в точке K и пусть KM∩Γ=L.
90=∠MNK=∠MIK, поэтому (KINM) является вписаным, поэтому ∠JMN=∠KNI=∠KMI⇒∠SMT=∠LMA⇒LT||AS и поскольку AS⊥AM⇒LT||PK
Таким образом, ∠BPK=∠BTL=∠BML=∠BMK⇒(PKBM) является вписаным, и аналогично мы имеем вписаным (QCMK).
Итак, ∠KPM=∠MBC и ∠KQM=∠KCM=∠BCM⇒∠QPM=∠PQM, поэтому IP=IQ, поэтому если PQ∩AB=A′ и PQ∩AC=B′, то PB′=QC′. При этом ∠QC′C=∠PB′B⇒sin∠QC′C=sin∠PB′B и ∠QCC′= уголTCA=∠TBA=180−∠PBB′⇒sin∠QCC′=sin∠PBB′. По теореме Синусов
QC=C′Qsin∠CC′Qsin∠QCC′ и PB=B′Psin∠BB′Psin∠PBB′⇒QC=PB по желанию.
Пусть (MNB),(MNC) пересекают IN в точках D,E соответсвенно. Пусть BD∩CE=X. Докажем что X=T.(Пусть X,A находятся по одну сторону от прямой BC).
∠MNB=∠MNC=90→∠MDX=∠MEX=90 по вписанности.
∠MDE=∠MBN=∠MCN=∠MED→MD=ME,△DME∼△BMC
MD=ME,∠MDX=∠MEX=90→MDXE - вписанный дельтоид.Значит IN⊥MX. (1)
△DME∼△BMC→∠BXC=∠DXE=180−∠DME=180−∠BMC=∠BAC , Значит X лежит на (ABC). (2)
Из (1),(2) очевидно следует T=X.
∠MIP=∠MIQ=90, из чего следует вписанности (MDIP),(MEIQ)
Из вписанностей(MBDN,MDIP,MEIQ,MCEN):△MBP∼△MNI∼△MCQ , но так как MB=MC,→△MBP=△MCQ
Отсюда BP=CQ
Пусть прямая перпендикулярная к AI пересекает стороны AC и AB в точках D и E соответсвенно. Пусть прямая DE пересекает (ADM) и (AEM) в точках P′ и Q′. Докажем что P′=P и Q′=Q.
Пусть (P′IM) пересекает IN в точке L. Аналогично определим точку K. Тогда заметим что ∠MLN=∠IPM=∠BAM=∠MBN. То есть точки L,N,M,B лежат на одной окружности. Значит ∠MLB=∠MLP=∠MIP=90. Значит точки L,B,P′ лежат на одной прямой. Аналогично, точки K,C,Q′ лежат на одной прямой. Заметим что, ∠MTC=∠MAC=∠MKL. Значит точки L,T,K,M лежат на одной окружности.
Значит ∠MLT=∠MKT=∠MIQ′=90. Значит точки B,L,T лежат на одной прямой. Значит P′=P и Q′=Q. Дальше легко заметить равенство треугольников △MBP и △MCQ по двум углам и сторонам MB и MC. Отсюда, PB=CQ.
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.