Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

8-я международная Иранская олимпиада по геометрии, 2021 год, вторая лига, 9-10 классы


Около остроугольного неравнобедренного треугольника ABC описана окружность Γ, а в него вписана окружность с центром в точке I. Прямая AI вторично пересекает Γ в точке M. Точка N — середина стороны BC, точка T на Γ такова, что INMT. Прямые TB и TC пересекаются с прямой, проходящей через I перпендикулярно AI, в точках P и Q соответственно. Докажите, что PB=CQ.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

  4
1 года 4 месяца назад #

Пусть INMT=J, S диаметрально противоположна M, линия, проходящая через I, перпендикулярная AI, пересекает BC в точке K и пусть KMΓ=L.

90=MNK=MIK, поэтому (KINM) является вписаным, поэтому JMN=KNI=KMISMT=LMALT||AS и поскольку ASAMLT||PK

Таким образом, BPK=BTL=BML=BMK(PKBM) является вписаным, и аналогично мы имеем вписаным (QCMK).

Итак, KPM=MBC и KQM=KCM=BCMQPM=PQM, поэтому IP=IQ, поэтому если PQAB=A и PQAC=B, то PB=QC. При этом QCC=PBBsinQCC=sinPBB и QCC= уголTCA=TBA=180PBBsinQCC=sinPBB. По теореме Синусов

QC=CQsinCCQsinQCC и PB=BPsinBBPsinPBBQC=PB по желанию.

  0
6 месяца 7 дней назад #

Пусть (MNB),(MNC) пересекают IN в точках D,E соответсвенно. Пусть BDCE=X. Докажем что X=T.(Пусть X,A находятся по одну сторону от прямой BC).

MNB=MNC=90MDX=MEX=90 по вписанности.

MDE=MBN=MCN=MEDMD=ME,DMEBMC

MD=ME,MDX=MEX=90MDXE - вписанный дельтоид.Значит INMX. (1)

DMEBMCBXC=DXE=180DME=180BMC=BAC , Значит X лежит на (ABC). (2)

Из (1),(2) очевидно следует T=X.

MIP=MIQ=90, из чего следует вписанности (MDIP),(MEIQ)

Из вписанностей(MBDN,MDIP,MEIQ,MCEN):MBPMNIMCQ , но так как MB=MC,MBP=MCQ

Отсюда BP=CQ

  6
6 месяца 7 дней назад #

Пусть прямая перпендикулярная к AI пересекает стороны AC и AB в точках D и E соответсвенно. Пусть прямая DE пересекает (ADM) и (AEM) в точках P и Q. Докажем что P=P и Q=Q.

Пусть (PIM) пересекает IN в точке L. Аналогично определим точку K. Тогда заметим что MLN=IPM=BAM=MBN. То есть точки L,N,M,B лежат на одной окружности. Значит MLB=MLP=MIP=90. Значит точки L,B,P лежат на одной прямой. Аналогично, точки K,C,Q лежат на одной прямой. Заметим что, MTC=MAC=MKL. Значит точки L,T,K,M лежат на одной окружности.

Значит MLT=MKT=MIQ=90. Значит точки B,L,T лежат на одной прямой. Значит P=P и Q=Q. Дальше легко заметить равенство треугольников MBP и MCQ по двум углам и сторонам MB и MC. Отсюда, PB=CQ.