8-я международная Иранская олимпиада по геометрии, 2021 год, первая лига, 7-8 классы
Теңбүйірлі ABCD трапециясының (AB∥CD) CD қабырғасынан E және F нүктелері DE=CF болатындай алынған, және олар D, E, F және C ретімен жүреді. X нүктесі E нүктесіне AD түзуіне қарағандағы симметриялы нүкте, Y нүктесі C нүктесіне AF түзуіне қарағандағы симметриялы нүкте. ADF және BXY үшбұрыштарына сырттай сызылған шеңберлердің центрлері беттесетінін дәлелелдеңіз.
посмотреть в олимпиаде
Комментарий/решение:
Рассмотрим точку Z на AB так, что AZFD — равнобедренная трапеция, следовательно,
это циклично. Пусть O — центр описанной окружности △AFD. Поскольку X и Y являются отражениями E и C относительно AD и AF, а ZBCF — параллелограмм, то ED=XD=CF=FY=ZB
Предположим, что AF пересекает CY в H.. Теперь заметим, что
∠OZB=∠OZF+∠FZB=90∘−∠ZDF+∠BCD=90∘−∠AFD+∠ADC
∠ODX=∠ODA+∠ADX=90∘−∠AFD+∠ADC
\angle OFY = 180^{\circ} - \angle OF A - \angle YFH = 180^{\circ} - (90^{\circ} - \angle ADC) - \angle HFC = 90^{\circ} } - \угол AFD + \угол ADC
Эти три равенства с ZB=XD=FY и OZ=OD=OF дают нам следующее:
△OZB≅△ODX≅△OFY⟹OB=OX=OY
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.