Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

8-я международная Иранская олимпиада по геометрии, 2021 год, первая лига, 7-8 классы


Теңбүйірлі ABCD трапециясының (ABCD) CD қабырғасынан E және F нүктелері DE=CF болатындай алынған, және олар D, E, F және C ретімен жүреді. X нүктесі E нүктесіне AD түзуіне қарағандағы симметриялы нүкте, Y нүктесі C нүктесіне AF түзуіне қарағандағы симметриялы нүкте. ADF және BXY үшбұрыштарына сырттай сызылған шеңберлердің центрлері беттесетінін дәлелелдеңіз.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

  4
1 года 4 месяца назад #

Рассмотрим точку Z на AB так, что AZFD — равнобедренная трапеция, следовательно,

это циклично. Пусть O — центр описанной окружности AFD. Поскольку X и Y являются отражениями E и C относительно AD и AF, а ZBCF — параллелограмм, то ED=XD=CF=FY=ZB

Предположим, что AF пересекает CY в H.. Теперь заметим, что

OZB=OZF+FZB=90ZDF+BCD=90AFD+ADC

ODX=ODA+ADX=90AFD+ADC

\angle OFY = 180^{\circ} - \angle OF A - \angle YFH = 180^{\circ} - (90^{\circ} - \angle ADC) - \angle HFC = 90^{\circ} } - \угол AFD + \угол ADC

Эти три равенства с ZB=XD=FY и OZ=OD=OF дают нам следующее:

OZBODXOFYOB=OX=OY