8-я международная Иранская олимпиада по геометрии, 2021 год, первая лига, 7-8 классы

Жүрек фигурасы деп, диаметрлері $AB$, $BC$ және $AC$ болатын үш жартышеңберлерден тұратын, бұл жерде $B$ нүктесі $AC$-ның ортасы, фигураны айтамыз (төмендегі сур. қара).
    Бізге $\omega$ жүрек фигурасы берілсін. $P$ және $P'$ нүктелері $\omega$-да жатып, және оның периметрін тең екі бөлікке бөлсе, $(P,P')$ нүкте жұптарын сәтті деп атаймыз. $(P,P')$ және $(Q,Q')$ сәтті жұптары болсын. $\omega$-ға $P$, $P’$, $Q$ және $Q’$ нүктелерінде жүргізілген жанама түзулер дөңес $XYZT$ төртбұрышын шектейді. Егер $XYZT$ төртбұрышы шеңберге іштей сызылған болса, $PP’$ және $QQ’$ түзулерінің арасындағы бұрышты табыңыз.

Комментарий/решение

Можно показать что любые отрезки проходящие через $B$ удачные точки $(P,P')$ будут делить $\omega$ пополам, пусть $T,X,Y,Z$ расположены с юга на запад по часовой стрелки и $P \in TX, Q' \in XY, \ P' \in YZ, \ Q \in TZ$.

Пусть $\angle P'CB=x, \ \angle BCQ=y$ тогда очевидно что $\angle PTQ=x+y$ но $\angle YP'C=90^{\circ}-x, \ \angle YQ'C = 90^{\circ}-y$ то есть $\angle Q'YP'=2x+2y$ но так как $XYZT$ вписанный, тогда $2x+2y=180^{\circ}-x-y$ или $x+y=60^{\circ}$ или $\angle (PP', QQ')=60^{\circ}$