7-я международная Иранская олимпиада по геометрии, 2020 год, третья лига, 11-12 классы
Комментарий/решение:
Отметим что данная окружность с диаметром MP есть окружность девяти точек ω9 тр ABC. Пусть AF,CD,BE высоты и HJ′⊥DE, J′∈DE
Покажем два факта, то что точки в условии определяются как:
1) Точка J∈PJ′∩ω9
2) Точка K∈AM∩ω9
Доказательство первого пункта: Опишем окружность ω около ADHE тогда его центр находится в P, тогда из вписанности BDHF выходит ∠HFD=∠HBD=∠DHE−90∘=90∘−∠DAE=90∘−∠DPE2=∠DPE то есть DP касательная к окр-и BDHF если F′∈AF∩DE значит PF′⋅PF=PD2, тогда рассмотрим инверсию ω9 относительно ω тогда ее образ есть прямая DE. Это значит что образы любых точек на прямой DE при инверсии лежат на ω9.
Так же покажем что AHJK вписанный, опишем окружность около AHJ тогда PJ′⋅PJ=PA2 или ∠PAJ′=∠PJA учитывая ∠HJP=∠J′HA тогда радиус окружности описанная около AHJ′ равна AHJ, тогда так как при инверсии ω9 относительно ω переходит DE а окр AHJ переходит в AHJ′ пусть точки пересечений образов будет точка K′, тогда если K∈PK′∩ωAHJ но ∠HJ′K′=∠HAK′ но тогда из PK⋅PK′=PA2 откуда ∠PKA=∠HAK′=90∘ но тогда AK пересекает BC в середине из свойств окружности девяти точек.
Покажем что NH⊥AJ′ это и докажет ∠AJP=∠HAJ′=∠HNM.
Если O центр Γ и так как NX касательная, учитывая что OM⊥BC тогда проведя AQ||BC где Q∈Γ если U∈AQ∩OM тогда ∠AXQ=∠UOQ значит OMXQN вписанный откуда NQ так же касательная, тогда CN=CQ2AQ=AB2AQ (∗) так как ABCQ равноб-я трапеция.
Пусть E′D′ и E′∈AB,D′∈AC симметрична биссектрисы l угла BAC пусть J″ симметрична J' относительна l, тогда J''D=J'D пусть V \in AJ'' BC, \ T \in AJ'' \cap \Gamma тогда из того что E'D' || BC получается
\dfrac{J''D'}{CV} = \dfrac{E'D'}{BC} = \dfrac{ED}{BC} но из подобия DHE, BHC выходит \dfrac{J'D}{BF} = \dfrac{DH}{BH} = \dfrac{ED}{BC} то есть BF=CV если G \in AF \cap \Gamma тогда покажем что G,T,N лежат на одной прямой.
Пусть N' \in GT \cap BC
тогда применим теорему Менелая для секущей NF и GAT тогда
\dfrac{GF}{AF} \cdot \dfrac{AV}{TV} = \dfrac{N'G}{N'T} учитывая что GF \cdot AF=AV \cdot TV тогда GF=\dfrac{AV \cdot TV}{AF}
тогда \dfrac{AV^2}{AF^2} = \dfrac{N'G}{N'T} или \dfrac{AQ^2}{AF^2}=\dfrac{GT}{N'T} \ (1)
Аналогично для AT и GN'F учитывая FV=AQ
\dfrac{GT}{N'T} \cdot \dfrac{N'V}{AQ} = \dfrac{AG}{AF}
подставляя (1) в уравнение
\dfrac{AQ^2}{AF^2} \cdot \dfrac{N'V}{AQ} = \dfrac{AG}{AF}
или AQ \cdot N'V = AG \cdot AF преобразовывая
AQ \cdot (CN'+CV) = AG \cdot AF
AQ \cdot CN' = AG \cdot AF-AQ \cdot CV
CN' = \dfrac{(AF+FG) \cdot AF-AQ \cdot CV}{AQ}
CN' = \dfrac{AB^2-CV^2+FG \cdot AF - AQ \cdot CV}{AQ}
CN' = \dfrac{AB^2+FG \cdot AF-CV \cdot (CV+AQ)}{AQ}
так как CV \cdot (CV+AQ) = BF \cdot CF = FG \cdot AF
CN' = \dfrac{AB^2}{AQ} то есть равно (*) значит N'=N
Но так как H,O изоганально сопряжены и HF=HG тогда \angle HAJ' = \angle OAV = \dfrac{180^{\circ} - \angle TOA}{2} = 90^{\circ}- \angle AGT = 90^{\circ} - \angle GHN = \angle HNM
Доказательство второго пункта: для этого достаточно доказать что \angle NKH = 90^{\circ}, покажем что PKH, MKN подобны, так как \angle PKH = \angle KMN нужно показать что
\dfrac{PK}{MK} = \dfrac{PH}{MN}
учитывая PK \cdot AM = AP \cdot FM
MN \cdot FM = AM \cdot MK
и так как \angle AP \cdot AF = AK \cdot AM
MN \cdot FM = AM(AM-AK) = AM^2-AP \cdot AF
MN \cdot FM = AF^2+FM^2-AP \cdot AF
(CN+CV+FM) \cdot FM = AF^2+FM^2-AP \cdot AF
(CN+CV) \cdot FM = AF^2-AP \cdot AF
и так как CN = \dfrac{AB^2}{AQ} если S середина AB тогда AP \cdot AF = AS \cdot AD
AB^2+2CV \cdot FM = 2AF^2-2AS \cdot AD
AB^2+2CV \cdot FM = 2AF^2-AB \cdot AD
CV^2+2CV \cdot FM = AF^2-AB \cdot AD
2CV^2+2CV \cdot FM = AB \cdot BD
CV \cdot BC = AB \cdot BD
\dfrac{BC}{AB} = \dfrac{BD}{CV} что верно
тогда \angle HKN = \angle PKM = 90^{\circ} или FHKN вписанный.
3) Проведем через точку K перпендикуляр l_{1} к общей внутренней касательной окр \omega_{AKJ}, \omega_{KMN} с центрами O_{1},O_{2} и радиусами R_{1},R_{2} соответственно, тогда O_{1},O_{2} лежат на l_{1} пусть I \in l_{1} \cap \omega_{AKJ}, \ Y \in NH \cap l_{1} тогда из того что \angle NKH = 90^{\circ} значит NK || IH откуда
\dfrac{YI}{YK} = \dfrac{IH}{KN} = \dfrac{R_{1}}{R_{2}} значит внешние касательные пересекаются в точке Y.
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.