Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

7-я международная Иранская олимпиада по геометрии, 2020 год, вторая лига, 9-10 классы


В остроугольном треугольнике ABC (AC>AB) точка H --- ортоцентр, M --- середина отрезка BC. Медиана AM вторично пересекает описанную окружность треугольника ABC в точке X. Прямая CH пересекает серединный перпендикуляр к отрезку BC в точке E, и вторично пересекает описанную окружность треугольника ABC в точке F. Окружность ω проходит через точки X, E и F, точка J на ω такова, что четырёхугольник BCHJ --- трапеция (CBHJ). Докажите, что прямые JB и EM пересекаются на ω.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

  0
11 месяца 2 дней назад #

Как видно по условию, задача нижмидовая, так как какие-то медианы какие-то окружности пересекают, очень (прям ультра супер пупер) сильная логическая связь с медианой. Из-за такой мотивации можно не решать эту задачу, а перейти к общему случаю и по воле судьбы может быть окажется, что обобщение задачи будет круче.

Первым на ум приходит такая мысль: M меняем на произвольную точку на BC, соответственно перпендикуляр к BC через M также пересекает высоту в E и т.п. Почему? ну тут очень просто: надо всего-то решить задачу для M, которое основание высоты (). Это очень очевидно. Далее замечания, которые следуют за пристальным взглядом на эту картину: F - фиксированная точка, JH имеет постоянное направление в виде BC, но самое интересное встретить ту же окружность, что и в (). Как это происходит? Самое простое объяснение - лемма Фусса для (JFH) и (ABC)... Пусть (JFH) и JB вторично пересекаются в D(?), тогда (JD,DF)=(FH,HJ)=(FC,CB), это символизирует, что углы BDF и FCB равны, то есть D(ABC). Пусть DH пересечет (ABC) в A, тогда по лемме Фусса, ну или по-человечески t - касательная к JFH в точке H (это значит, что t - касательная к JFH в точке H), (t,HD)=(HF,FD)=(CA,AD)AC||t, но (t,HD)=(HF,FD)=(CA,AD)AC||t,значит A,H,D коллинеарны. Далее просто применяется лемма Фусса (JFH) и ω для секущих FHE и JDY (Y - пересечение вторичное JD с ω), тогда HD||EY, но HDBC, значит EYBC, поэтому MBC, но требовалось MEY, что высказано в последней выкладке.