7-я международная Иранская олимпиада по геометрии, 2020 год, вторая лига, 9-10 классы
Комментарий/решение:
Как видно по условию, задача нижмидовая, так как какие-то медианы какие-то окружности пересекают, очень (прям ультра супер пупер) сильная логическая связь с медианой. Из-за такой мотивации можно не решать эту задачу, а перейти к общему случаю и по воле судьбы может быть окажется, что обобщение задачи будет круче.
Первым на ум приходит такая мысль: M меняем на произвольную точку на BC, соответственно перпендикуляр к BC через M также пересекает высоту в E и т.п. Почему? ну тут очень просто: надо всего-то решить задачу для M, которое основание высоты (ℵ). Это очень очевидно. Далее замечания, которые следуют за пристальным взглядом на эту картину: F - фиксированная точка, JH имеет постоянное направление в виде BC, но самое интересное встретить ту же окружность, что и в (ℵ). Как это происходит? Самое простое объяснение - лемма Фусса для (JFH) и (ABC)... Пусть (JFH) и JB вторично пересекаются в D(?), тогда ∠(JD,DF)=∠(FH,HJ)=∠(FC,CB), это символизирует, что углы BDF и FCB равны, то есть D∈(ABC). Пусть DH пересечет (ABC) в A′, тогда по лемме Фусса, ну или по-человечески t - касательная к JFH в точке H (это значит, что t - касательная к JFH в точке H), ∠(t,HD)=∠(HF,FD)=∠(CA′,AD)⇐A′C||t, но ∠(t,HD)=∠(HF,FD)=∠(CA,AD)⇐AC||t,значит A,H,D коллинеарны. Далее просто применяется лемма Фусса (JFH) и ω для секущих F−H−E и J−D−Y (Y - пересечение вторичное JD с ω), тогда HD||EY, но HD⊥BC, значит EY⊥BC, поэтому M∈BC, но требовалось M∈EY, что высказано в последней выкладке.
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.