Юниорская олимпиада по математике. Областной этап. 2021-2022 учебный год. 8 класс.

Теңдеудi нақты сандарда шешiңiз $6^{x}+30^{x}+33^{x}=45^{x},$ бұл жерде $x \ge 1$.

Комментарий/решение

Заметим что $x=2$ подходит (ну это же очевидно ^^).

Сократим везде по $45^x$ и получим $(\frac{2}{15})^x+(\frac{2}{3})^x+(\frac{11}{15})^x=1.$

Дадим меньше чем $x=2$, дроби слева станут больше $1$, дадим больше $x=2$, дроби станут меньше $1.$

с обеих сторон сокращаем 3^x и расматриваем по модулю 3.

1)Если x-нечетный: 2^x+10^x+11^x дает 2 по модулю 3. Противоречие

2)Если x-четный: то x=2k, 4^k+100^k+121^k=225^k, заметим k=1 подходит(ну это же очевидно ^^) . Заменим 4 на a, 100 на b, 121 на c, и выходит что a^k+b^k+c^k=(a+b+c)^k.

Допустим k больше чем 1. Тогда (a+b+c)^k=a^k+b^k+c^k+... что очевиндо строго больше a^k+b^k+c^k потому что a,b,c натуральные. Противоречие. k=1 x=2

X не обязательно целое

Поделим обе части для удобства на $3^x$, получим $2^x + 10^x + 11^x = 15^x$. Теперь поделим все на $15^x$:

$$\left(\frac{2}{15}\right)^x + \left(\frac{10}{15}\right)^x + \left(\frac{11}{15}\right)^x = 1.$$

Заметим, что слева имеем сумму функций вида $c^x$, где $0 < c < 1$. Докажем, что такая сумма является строго убывающей функцией на отрезке $x \in (0; +\infty)$. Для начала разберемся с функцией вида $c^x$. Пусть $f(x) = c^x$, тогда

$$ f'(x) = c^x \ln c < 0, $$

так как $\ln c < 0$ при $0 < c < 1$. Значит, все функции строго убывают при $x > 0$. Тогда и сумма этих функций является строго убывающей функцией на том же отрезке. Это легко видеть, ведь если у нас есть строго убывающие функции $f_1(x), f_2(x), \dots, f_n(x)$ на отрезке $(a, b)$, то это значит, что для всех $x, y \in (a, b)$, если $x < y$, то $f_i(x) > f_i(y)$, $i = 1, 2, \dots, n$. Суммируя неравенства, получаем

$$ \sum_{i=1}^{n} f_i(x) > \sum_{i=1}^{n} f_i(y), $$

то есть на этом же отрезке сумма функций тоже строго убывает. Тогда функция

$$ g(x) = \left(\frac{2}{15}\right)^x + \left(\frac{10}{15}\right)^x + \left(\frac{11}{15}\right)^x $$

строго убывает при $x > 0$. Значит, что $g(x) = 1$ только в одной точке, остается заметить, что

$$ \left(\frac{2}{15}\right)^2 + \left(\frac{10}{15}\right)^2 + \left(\frac{11}{15}\right)^2 = \frac{4 + 100 + 121}{225} = 1.$$

Ответ: $x = 2$.

Спасибо за такое красивое решение!

Мне кажется что решение чуть-чуть сложное для 8 класса?

Да, вы правы, можно легче:

Рассмотрим функцию $f(x) = c^x$, где $0 < c < 1$. Докажем, что она строго убывает при $x > 0$.

Рассмотрим $f(x)$ и $f(x+k)$, где $k > 0$. Тогда

$f(x+k) = c^x \cdot c^k$.

Поскольку $0 < c < 1$, то $c^k < 1$, и значит

$f(x+k) = c^x \cdot c^k < c^x = f(x)$.

Следовательно, функция $f(x)$ строго убывает на промежутке $(0, +\infty)$, что и требовалось доказать.

Но я сам в 8 классе и мне то решение ближе. Поэтому извините.

Точно не Chat gpt, верю

Ну, как хотите)))