Юниорская олимпиада по математике. Районный этап. 2021-2022 учебный год. 8 класс.

Жүйені натурал сандар жиынында шешiңiз $$ \left\{\begin{array}{l} a+b+c+d+e=2021^{2022}, \\ a^{729}+b^{243}+c^{81}+d^{27}+e^{9}=20222021^{2021}. \end{array}\right. $$

Комментарий/решение

Заметим что по Малой теореме ферма $a^{3^k}$ оставит $a^{3^{k-1}}$ и так далее.. значит вторая сумма оставит первую сумму по модули $3$, а так как первая сумма делится на $3$ а вторая нет, это невозможно.

Заметим что 2021 в нечётной степени даёт по мод3 2 а в четной 1

Заметим что тоже самое с 20222021 тогда

Заметим что любое число в нечётной степени даёт такой же остаток как и в первой степени

Тогда у первое выражения и второго одинаковый остаток при деления на 3. Но у 2021 и 20222021 разные потомучто у 2021 четная степень а у 20222021 нечётная значит у них разный остаток по мод3 что означает противоречие