Юниорская олимпиада по математике. Районный этап. 2021-2022 учебный год. 8 класс.

Сүйiрбұрышты $ABC$ үшбұрышта $D$ және $E$ нүктелерi $AB$ және $BC$ қабырғаларының орталары, ал $BH$ осы үшбұрыштың биiктiгi. $DEH$ үшбұрышы теңқабырғалы екенi белгiлi. $ABC$ үшбұрышы да теңқабырғалы екенiн дәлелдеңiз.

Комментарий/решение

Скажем что AC=2x, тогда DE=DH=EH=x в прямоугольных треугольниках ABH и BHC DH и EH медианы значит AB=AC=BC

Пусть М - середина стороны АС, тогда точки D,E,M,H лежат на окружности девяти точек, следовательно $\angle DHE=\angle DME=60$ значит точки $H,M$ совпадают следовательно искомый треугольник равнобедренный, а так как ADEH - параллелограмм то $\angle A=60$ следовательно АВС - равносторонний