Юниорская олимпиада по математике. Районный этап. 2021-2022 учебный год. 8 класс.

Точки $D$ и $E$ — середины сторон $AB$ и $BC$ остроугольного треугольника $ABC$, а $BH$ — его высота. Известно, что треугольник $DEH$ равносторонний. Докажите, что треугольник $ABC$ также равносторонний.

Комментарий/решение

Скажем что AC=2x, тогда DE=DH=EH=x в прямоугольных треугольниках ABH и BHC DH и EH медианы значит AB=AC=BC

Пусть М - середина стороны АС, тогда точки D,E,M,H лежат на окружности девяти точек, следовательно $\angle DHE=\angle DME=60$ значит точки $H,M$ совпадают следовательно искомый треугольник равнобедренный, а так как ADEH - параллелограмм то $\angle A=60$ следовательно АВС - равносторонний