Юниорская олимпиада по математике. Районный этап. 2021-2022 учебный год. 8 класс.

Назовем тройку подряд идущих чисел $(a, b, c)$ хорошей, если $\left(b^{2}-a c\right)$ делится на 11. Можно ли расставить по кругу числа 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 так чтобы любая подряд идущая тройка была хорошей?

Комментарий/решение

Ответ:нет, у нас будет тройка где 3 будет на месте b и тогда 9-ac должно делится на 9 но такое невозможно ведь из оставшихся чисел только 6 делится на 3

Ответ: Да, можно.

Например, когда каждое следующее число равно предыдущему, умноженному на $2$, и взят остаток при делении на $11$: $1,2,4,8,5,10,9,7,3,6$.

Примечание:Если вы знаете тему "первообразный корень", то несложно заметить, что таких расстановок(с точностью до поворота) столько же, сколько первообразных корней по модулю 11, а именно $\varphi(10)=4$.

$1^2-2\cdot4=-7 \equiv 4 \pmod {11}$