Юниорская олимпиада по математике. Районный этап. 2021-2022 учебный год. 8 класс.

$(a, b, c)$ қатар тұрған үш натурал сандарды жақсы деп атаймыз, егер $\left(b^{2}-a c\right)$ саны 11-ге бөлiнсе. Кез-келген қатар тұрған үш сан жақсы болатындай 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 сандарын шеңбердiң бойына жазып шығуға бола ма?

Комментарий/решение

Ответ:нет, у нас будет тройка где 3 будет на месте b и тогда 9-ac должно делится на 9 но такое невозможно ведь из оставшихся чисел только 6 делится на 3

Ответ: Да, можно.

Например, когда каждое следующее число равно предыдущему, умноженному на $2$, и взят остаток при делении на $11$: $1,2,4,8,5,10,9,7,3,6$.

Примечание:Если вы знаете тему "первообразный корень", то несложно заметить, что таких расстановок(с точностью до поворота) столько же, сколько первообразных корней по модулю 11, а именно $\varphi(10)=4$.

$1^2-2\cdot4=-7 \equiv 4 \pmod {11}$