Юниорская олимпиада по математике. Районный этап. 2021-2022 учебный год. 7 класс.

Решите систему в натуральных числах $$ \left\{\begin{array}{l} a b c d-a b=2021^{2022}, \\ a b c d-b c=22021^{2022}, \\ a b c d-c d=222021^{2022}, \\ a b c d-d a=2222021^{2022}. \end{array}\right. $$

Комментарий/решение

Заметим что

abcd-ab=нечетный

abcd-bc=нечетный

abcd-cd=нечетный

abcd-da=нечетный

Допустим $a$ четный $\Rightarrow$ $abcd-ab=$четный но это неверно значит $a$ нечетный

Допустим что $b$ четный то тогда $abcd-bc=$ четный но это неверно значит $b$ нечетный

Анологично с $c,d$ $\Rightarrow$ $a,b,c,d$ нечетные $\Rightarrow abcd-ab=$четный но это невозможно, значит таких натуральных $a,b,c,d$ не существует

Заметим что abcd-ab<abcd-bc из этого -ab<-bc то есть ab>bc, a>c. Сделаем тоже самое с abcd-cd и abcd-ad, и получим с>а, значит с>а, а а>с, Противоречие.

Заметим, что 2021 и 22021 взаимно просты, тогда abcd-ab=2021^2022 и abcd-bc=22021^2022, но они оба должны делится на b, следовательно b=1, и таким же образом выводится противоречие с другими переменными