Районная олимпиада, 2012-2013 учебный год, 8 класс

Мальчик пробегает каждый день либо $a$, либо $b$ километров, где $a$ и $b$ — натуральные числа, $a > b$. Мальчик может пробежать ровно 100 километров за 9 или 11 дней, но не может за 10 дней. Найдите все возможные значения $a$ и $b$.

Комментарий/решение

Ответ: $a=12;b=4$

1) Рассмотрим две ситуации - мальчик бежал 9 дней и 11. Пусть $x-$ количество дней (в ситуации 9-дневного бега), когда мальчик бегал по $a$ км. Тогда $9-x$ количество дней, когда мальчик бегал по $b$ км. Получаем уравнение

$$a\cdot x + b\cdot (9-x)=100$$

Аналогичное уравнение для ситуации с 11-дневным бегом. Пусть $y-$ количество дней (в ситуации 11-дневного бега), когда мальчик бегал по $a$ км. Тогда $11-x$ количество дней, когда мальчик бегал по $b$ км. Получаем уравнение

$$a\cdot y + b\cdot (11-y)=100$$

2) Решим систему (1) относительно $a$ и $b$. Я решал в пакете Mathcad, но система допускает и ручное решение

$$a=\dfrac{100x-100y+200}{11x-9y}$$

$$b=\dfrac{100x-100y}{11x-9y}$$

3) По смыслу решения имеем $a,b,x,y\in\mathbb N$ . Кроме того $x<9;y<11$

4) $a>b;a,b\in \mathbb N \rightarrow a-b=\dfrac{200}{11x-9y}\in\mathbb N$

5) Делители числа $200$

$$1,2,4,5,8,10,25,40,50,100,200$$

6) $$11x-9y=1;9x+2x-9y \equiv 1 \pmod {9};0+2x-0 \equiv 1 \pmod {9}$$

$$2x \equiv 1 \pmod {9}\rightarrow x=5$$

$$y=\dfrac{11x-1}{9}=\dfrac{11\cdot 5-1}{9}=6$$

Откуда $b=\dfrac{100x-100y}{11x-9y}=\dfrac{100\cdot 5-100\cdot 6}{1}=-100\notin\mathbb N$

7) $$11x-9y=2;2x \equiv 2 \pmod {9}\rightarrow x=1$$

$$y=\dfrac{11x-2}{9}=\dfrac{11\cdot 1-2}{9}=1$$

Откуда $b=\dfrac{100x-100y}{11x-9y}=\dfrac{100\cdot 1-100\cdot 1}{2}=0\notin\mathbb N$

8) $$11x-9y=4;2x \equiv 4 \pmod {9}\rightarrow x=2$$

$$y=\dfrac{11x-4}{9}=\dfrac{11\cdot 2-4}{9}=2$$

Откуда $b=\dfrac{100x-100y}{11x-9y}=\dfrac{100\cdot 2-100\cdot 2}{4}=0\notin\mathbb N$

9) $$11x-9y=5;2x \equiv 5 \pmod {9}\rightarrow x=7$$

$$y=\dfrac{11x-5}{9}=\dfrac{11\cdot 7-5}{9}=8$$

Откуда $b=\dfrac{100x-100y}{11x-9y}=\dfrac{100\cdot 7-100\cdot 8}{5}=-20\notin\mathbb N$

10) $$11x-9y=8;2x \equiv 8 \pmod {9}\rightarrow x=4$$

$$y=\dfrac{11\cdot 4-8}{9}=4$$

Откуда $b=\dfrac{100x-100y}{11x-9y}=\dfrac{100\cdot 4-100\cdot 4}{8}=0\notin\mathbb N$

11) $$11x-9y=10;2x \equiv 10 \pmod {9}\equiv 1 \pmod {9}\rightarrow x=5$$

$$y=\dfrac{11\cdot 5-10}{9}=5$$

Откуда $b=\dfrac{100x-100y}{11x-9y}=\dfrac{100\cdot 5-100\cdot 5}{10}=0\notin\mathbb N$

12) $$11x-9y=20;2x \equiv 20 \pmod {9}\equiv 2 \pmod {9}\rightarrow x=1$$

$$y=\dfrac{11\cdot 1-20}{9}=-1\notin\mathbb N$$

13) $$11x-9y=25;2x \equiv 25 \pmod {9}\equiv 7 \pmod {9}\rightarrow x=8$$

$$y=\dfrac{11\cdot 8-25}{9}=7$$

Откуда $b=\dfrac{100x-100y}{11x-9y}=\dfrac{100\cdot 8-100\cdot 7}{25}=4\in\mathbb N$

$$a=\dfrac{100x-100y+200}{11x-9y}=\dfrac{100\cdot 8-100\cdot 7+200}{25}=12\in\mathbb N$$

Проверка на выполнение условия: мальчик не должен пробежать с данными $a$ и $b$ 100 км за 10 дней

$$a\cdot z + b\cdot (10-z)=100$$

$$12\cdot z + 4\cdot (10-z)=100\rightarrow z=\dfrac{60}{8}\notin\mathbb N$$

Делаем вывод, что пара $a=12;b=4$ полностью удовлетворяет условию задачи

14)

$$11x-9y=40;2x \equiv 40 \pmod {9}\equiv 4 \pmod {9}\rightarrow x=2$$

$$y=\dfrac{11x-40}{9}=\dfrac{11\cdot 2-40}{9}=-2\notin\mathbb N$$

15) $$11x-9y=50;2x \equiv 50 \pmod {9}\equiv 5 \pmod {9}\rightarrow x=7$$

$$y=\dfrac{11\cdot 7-50}{9}=3$$

Откуда $b=8\in\mathbb N;a=12\in\mathbb N$

Проверка на выполнение условия: мальчик не должен пробежать с данными $a$ и $b$ 100 км за 10 дней

$$a\cdot z + b\cdot (10-z)=100$$

$$12\cdot z + 8\cdot (10-z)=100\rightarrow z=5\in\mathbb N$$

Делаем вывод, что пара $a=12;b=8$ не удовлетворяет условию задачи

16) Остальные случаи остаются в качестве упражнения $:)$ (там нет решений)

17) Завершив перебор, пришли к ответу (см начало)

наверное есть способ по рациональнее..

не спорю, наверное есть) Более того, интересно было бы взглянуть на решение этой задачи коротким лаконичным способом