Юниорская олимпиада по математике. Заключительный этап. 2019-2020 учебный год. 8 класс.

Решите систему уравнений в действительных числах: \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{a^3} - 12{b^2} + 48b - 64 = 0,}\\ {{b^3} - 12{c^2} + 48c - 64 = 0,}\\ {{c^3} - 12{a^2} + 48a - 64 = 0.} \end{array}} \right.\]

Комментарий/решение

Прибавим все вместе: $(a-4)^3 +…=0$, допустим что не все равны $4$. Допустим все больше 4, тогда это невозможно (значит найдется <4), допустим что все <4, невозможно (найдётся >4). Пара таких чисел уже есть в одном из трёх уравнений, и есть два случая:

$i)$ Число <4 будет кубическим вначале и число >4 будет отрицательным 12* квадратом и так далее.. очевидно что в итоге все будет меньше нуля

$ii)$ Обратный случай, очевидно все больше 0.

Значит других ответов нет.

Ответ: $\boxed{a=b=c=4}$