Processing math: 86%

Математикадан облыстық олимпиада, 2004-2005 оқу жылы, 9 сынып


Бүтін сандар жиынында теңдеуді шешіңіздер: 19x2+28y2=729.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

пред. Правка 3   -2
6 года 4 месяца назад #

  2
6 года 4 месяца назад #

Допустим у=-1. Тогда 27-28 не будет отрицательной,что и опровергает ваше утверждение. Думаю что вы указали неверное решение.

  3
6 года 4 месяца назад #

Решение.

19x2 + 28y2 = 19x2 + 19y2 + 9y2 = 36

19(x2 + y2) = 36 - 9y2

19(x2 + y2) = 9(34 - y2)

19 не делится на 9, значит x2 + y2 должно делится на 9, но это возможно только при том что х и у делятся на 3.То есть x2 и y2 9. При х=3 и у=3, 19×9 + 28×9 < 729.

9 × 62 + 28×9 > 729. То есть только при минимальном х и у 19x2 + 28y2<729. Ну а если хотя бы один из их будет равняться 3к где к 2 или -2к , то 19x2 + 28y2>729. То есть уравнение не имеет корней при целых х и у.

  3
4 года 3 месяца назад #

По модули 3, оба числа оставляют 0 или 2 в сумме, а 729 делится на 3.

Значит рассматриваем по числам делящихся на 3, это либо 3, либо 6, ибо 9^2=81 81*19>729

По подбору, не найдено никаких удовлетворяющих значении х и у таковых

  7
2 года 4 месяца назад #

Красивое и понятное решение

  1
3 года 11 месяца назад #

Бұл есеп келесі кітаптарда кездеседі:

1. Н. В. Горбачёв. Сборник олимпиадных задач по математике

1. И. Л. Бабинская. Задачи математических олимпиад.

  5
1 года 5 месяца назад #

Можно записать так:

18x^2+27y^2+x^2+y^2=729\Rightarrow x^2+y^2 \equiv 0 \pmod {9}\Rightarrow x^2 \equiv 0 \pmod {9};y^2 \equiv 0 \pmod {9}.

Если x,y \equiv 0 \pmod {3} то пусть x=3a;y=3b.

Но тогда 19a^2+28b^2=81\Rightarrow a;b \equiv 0 \pmod {3}.Но тогда не будет решений на это уравнение.А значит такие x,y не существуют