Юниорская олимпиада по математике. Заключительный этап. 2018-2019 учебный год. 7 класс.

Пусть $T_n$ — сумма первых $n$ натуральных чисел, т.е. $T_n = 1 + 2 + \ldots + n$. Для некоторых натуральных чисел $m$ и $n$ имеет место равенство $2T_m = T_n$. Докажите, что число $T_{2m-n}$ является квадратом натурального числа.

Комментарий/решение

$$T_{n}=\frac{n(n+1)}{2}, 2T_{m}=m(m+1)$$

$$2m^2+2m=n^2+n$$

$$T_{2m-n}=\frac{(2m-n)(2m-n+1)}{2}=\frac{4m^2+n^2-4mn+2m-n}{2}=\frac{2n^2-4mn+2m^2}{2}=(m-n)^2$$

Что и требовалось доказать.