Юниорская олимпиада по математике. Заключительный этап. 2018-2019 учебный год. 7 класс.

$T_n$ — бірінші $n$ натурал сандардың қосындысы ретінде белгілейік, яғни $T_n=1+2+\ldots+n$. Белгілі $m$, $n$ натурал сандар үшін келесі теңдік орындалады: $2T_m=T_n$. $T_{2m-n}$ — натурал санның квадраты болатынын дәлелдеңіз.

Комментарий/решение

$$T_{n}=\frac{n(n+1)}{2}, 2T_{m}=m(m+1)$$

$$2m^2+2m=n^2+n$$

$$T_{2m-n}=\frac{(2m-n)(2m-n+1)}{2}=\frac{4m^2+n^2-4mn+2m-n}{2}=\frac{2n^2-4mn+2m^2}{2}=(m-n)^2$$

Что и требовалось доказать.