Республиканская юниорская олимпиада по математике. Заключительный этап. 2017-2018 учебный год

$ABCDE$ дөңес бесбұрышының барлық қабырғалары тең. Егер $\angle BCD = 2\angle ACE$ болса, онда $\angle ACE$-ні табыңыз.

Комментарий/решение

Пусть $\omega_{c}, \ \omega_{d}, \ \omega_{a}$ окружности равного радиуса и $\omega_{с}$ окр центром в $C$ и $B,D$ точки на ней, аналогично $\omega_{a}$ окр с центром в $A$ такая что $B,E$ на ней, положим что на $\omega_{d}$ лежат $C,E$ тогда в $ABCDE$ стороны равны , пусть $\angle CBD = a, \ \ \angle ABD = b, \ \ \angle BDE=c$ тогда $\angle ACE = \dfrac{b+c-2a}{2}$ и $\angle BCD = 180^{\circ}-2a$ учитывая $\angle BCD= 2\angle ACE$ откуда $b+c=180^{\circ}$ то есть $ABDE$ ромб, то есть $a=60^{\circ}$ значит $\angle ACE = 30^{\circ}$