Республиканская юниорская олимпиада по математике. Заключительный этап. 2017-2018 учебный год
Комментарий/решение:
Ответ: 990
свойства деления на 5, то что число оканчивается 0 или 5
свойства деления на 9, то что сумма цифр числа делится на 9( спасибо, кэп)
1+7+4+2+1+8=23
Если последняя цифра 0 $\Rightarrow$ конечная сумма цифр(после вписывание цифр в число) = x, 23<x<50 (23+3*9 т.к 3 пустых мест (1)) $\Rightarrow$ x = {27, 36, 45}
Если последняя цифра 5 $\Rightarrow$ конечная сумма цифр(после вписывание цифр в число) = x, 28<x<55 (1) $\Rightarrow$ x = {36, 45, 54}
Представим, что значение всех трех пробелов = 0, тогда будем добавлять единицы до того момента пока сумма цифр не будет равна нужному х.
тогда всего будет добавлено х-23=n единиц. Необходимо посчитать все варианты их расположения, причем каждая единица равносильна другой.
Дальше можно пойти методом перебора, но это капец как долго и скучно поэтому я вывела формулу
Выведем формулу:
Поставим в первый пробел все n единиц, это первый вариант.
Теперь остальные единицы будут сдвигаться вправо на один пробел таким образом:
единица совершает 2 хода, затем возвращается на второй пробел(это за ход не считается) затем следующая единица идет на 2 хода, а прошла только на 1(т.к идет со второго пробела), затем они обе возвращаются на второй пробел, 2 раза ходит следующая и они по очереди сдвигаются на 1 пробел вправо и.т.д. пока все единицы не окажутся в третьем пробеле. 1 ход равносилен одному варианту(объяснение чуть ниже)
Получаем такую формулу(работает только когда пробелов 3)
1(первая позиция)+2+(2 + 1)+(2+2)+...+(2+(n-1)) = 1 + 2*n + $\dfrac{(n-1)n}{2}$
Объяснение формулы: на каждое кол-во единиц в первом пробеле мы находим все возможные варианты расположение единиц во втором и третьем путем их перекладывания, получается что то вроде 5+0, 4+1, 3+2, ..., 0+5.
2) находим кол-во вариантов
1 + (1 + 2*4 + 3*4/2) + (1 + 2*(36-23) + 12*13/2) + (1 + 2*(45-23) + 21*22/2) + (1 + 2*(36-28) + 7*8/2) + (1 + 2*(45-28) + 16*17/2) + (1 + 2*(54-28) + 25*26/2) = 990
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.