5-я олимпиада им. Шалтая Смагулова, 6 класс, 2 тур

$n\times n$ тақтада бағандары — солдан оңға, жолдары — жоғарыдан төменге қарай 1-ден $n$-ге дейін номерленген. Кез келген $k$ номерлі жол мен $m$ номерлі бағанның қиылысындағы торкөзге $m+k$ деген санды жазып, солай барлық тақтаны толтырды. Содан кейін әр торкөзді шахмат тақтасының ретімен, жоғарғы сол жақ торкөз қара болатындай ақ пен қараға бояды. Пайда болған қара торкөздегі сандардың қосындысынан аққа боялған торкөздегі сандардың қосындысын азайтты. Шыққан азайтынды нешеге тең болады, егер
   a) $n=2021$ болса; б) $n=2022$ болса?

Комментарий/решение

Давайте рассмотрим способ разбиения таблицы на строки. Посчитаем сумму разниц пар из белых и черных клеток.

-- Четная n

Вначале рассмотрим таблицы с четным n. Каждая пара дает разность -1. Суммируем и получаем -n/2. Теперь следующая строка будет начинаться с белой клетки. Теперь разность в паре будет 1. Суммируем и получаем n/2. Теперь сумма этих двух строк будет 0! То есть полученная разность в таблицы с четным n будет 0.

б)0

--Нечетная n

Теперь в таблице с нечетным n все посложнее, но не будем усложнять до того, что будем тоже такой способ использовать. Просто выделим из всей таблицы еще одну таблицу, только с четным n. Останется одна строка и один столбец с общей клеткой которая равна n*2. Применим метод пар как в четной таблицы и не будем трогать общую клетку. Получится сумма разностей -n+1. Теперь прибавим к этому общую клетку. Получится n+1.

а)2021+1=2022