5-я олимпиада им. Шалтая Смагулова, 7 класс, 1 тур

Пусть $\frac{1}{A}=1-\frac{2}{1 \cdot \left( 1+2 \right)}-\frac{3}{\left( 1+2 \right) \cdot \left( 1+2+3 \right)}-\ldots -\frac{200}{\left( 1+2+\ldots +199 \right) \cdot \left( 1+2+\ldots +200 \right)}.$ Найдите число $A$.

Комментарий/решение

$1+2+3+...+n=\frac{n(n+1)}{2}.$

$\frac{2}{1(1+2)}+\frac{3}{(1+2)(1+2+3)}+...+\frac{200}{(1+2+...+199)(1+2+...+200)}=\sum_{i=2}^{200}\frac{n}{\frac{n(n-1)}{2}\cdot \frac{n(n+1)}{2}}=\sum_{i=2}^{200}\frac{4n}{n\cdot n\cdot (n-1)(n+1)}=4\cdot\sum_{i=2}^{200}\frac{1}{n\cdot (n-1)(n+1)}.$

$\frac{1}{k(k+1)(k+2)}=\frac{1}{2}\left ( \frac{1}{k(k+1)} -\frac{1}{(k+1)(k+2)}\right ).$

$\frac{1}{1\cdot 2\cdot3}=\frac{1}{2}\left ( \frac{1}{1\cdot 2}-\frac{1}{2\cdot3} \right ), \frac{1}{2\cdot 3\cdot4}=\frac{1}{2}\left ( \frac{1}{2\cdot 3}-\frac{1}{3\cdot4} \right ).$

$4\cdot\sum_{i=2}^{200}\frac{1}{n\cdot (n-1)(n+1)}=4\cdot \left ( \frac{1}{2}\left ( \frac{1}{1\cdot 2}-\frac{1}{2\cdot3} \right )+\frac{1}{2}\left ( \frac{1}{2\cdot 3}-\frac{1}{3\cdot4} \right )+...+\frac{1}{2}\left ( \frac{1}{199\cdot 200}-\frac{1}{200\cdot201} \right ) \right )=4\cdot \left ( \frac{1}{2}\left ( \frac{1}{2}-\frac{1}{200\cdot201} \right ) \right )=1-\frac{1}{100\cdot 201}.$

$\frac{1}{A}=1-(1-\frac{1}{100\cdot 201})= \frac{1}{100\cdot 201}.$

$A=20100.$