Processing math: 100%

Областная олимпиада по математике, 2004 год, 9 класс


Периметр треугольника ABC, где AB<AC, в 7 раз больше длины BC. Вписанная окружность треугольника касается стороны BC в точке E, и диаметр DE этой окружности пересекает медиану из вершины A в точке F. Найдите отношение DE:DF.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

  1
8 года 5 месяца назад #

Если AB<AC и AB+AC=6BC то B>90 , проведем высоту AH из точки A на сторону BC , так как DEBC получим что DE||AH , из подобия треугольников MEF,MAH получим FEAH=MEMH , докажем что MEMH=16 , преобразовав получим BE+BHME=5 , положим что N точка касания окружности со стороной AC , получим что AN=5BC2 , тогда EM=AC3BC , тогда BE=BC2EM=7BC2AC2 , тогда BH=ABcosB , тогда получим соотношение которое надо доказать 3BCAB=BC2ABcosB12 , откуда cosB=12AB35BC2AB , которая следует из теоремы косинусов .

Найдем соотношение FEr , так как FE=AH6 , с одной стороны SABC=BCAH2 , но с другой SABC=pr=7BC2r , то есть FEr=76 или FEDE=712 , значит DEDF=125.