Областная олимпиада по математике, 2004 год, 9 класс
Комментарий/решение:
Если AB<AC и AB+AC=6BC то ∠B>90∘ , проведем высоту AH из точки A на сторону BC , так как DE⊥BC получим что DE||AH , из подобия треугольников MEF,MAH получим FEAH=MEMH , докажем что MEMH=16 , преобразовав получим BE+BHME=5 , положим что N точка касания окружности со стороной AC , получим что AN=5BC2 , тогда EM=AC−3BC , тогда BE=BC2−EM=7BC−2AC2 , тогда BH=−AB∗cos∠B , тогда получим соотношение которое надо доказать 3BC−AB=BC−2AB⋅cos∠B12 , откуда cos∠B=12AB−35BC2AB , которая следует из теоремы косинусов .
Найдем соотношение FEr , так как FE=AH6 , с одной стороны SABC=BC⋅AH2 , но с другой SABC=p⋅r=7BC2⋅r , то есть FEr=76 или FEDE=712 , значит DEDF=125.
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.