Азиатско-Тихоокеанская математическая олимпиада, 2022 год
ABC үшбұрышында ∠B=90∘. D нүктесі CB түзуінде B нүктесі D мен C арасында жататындай алынған. E нүктесі -- AD кесіндісінің ортасы, ал ACD және BDE үшбұрыштарына сырттай сызылған шеңберлер екінші рет F нүктесінде қиылысады. D нүктесінің алуына қарамастан, барлық EF түзулері тұрықты нүкте арқылы өтетінін дәлелдеңіз.
посмотреть в олимпиаде
Комментарий/решение:
Пусть FE∩BC=L и FE∩(ABC)=X Тогда в силу того что FDEB и FDXC - вписанные получаем: ∠LEB=∠LDF=∠LXC значит EB∥XC Заметим что ∠EDB=∠EBD=∠XCD значит ADCX равнобокая трапеция, отсюда: XC=AD=EB/2 значит EB средняя линия треугольника △LXC значит LB=BC значит L симметрична точке C относительно B и все такие прямые EF проходят через эту точку значит L и есть фиксированная точка
Пусть BC∩EF=G
Заметим что F точка микеля EABC значит F центр поворотной гомотетии переводящий FEA и FBC отсюда FEEA=FBBC.Так как E середина большой дуги DFB значит FE внешняя бисектриса угла ∠DFB, отсюда ∠DFE=∠BFG и так как ∠GBF=∠DEF значит DFE~FBG <=> FEED=FBBG
Из начального соотношения следует что BG=BC значит G это отражение C относительно B.
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.