Processing math: 100%

Азиатско-Тихоокеанская математическая олимпиада, 2022 год


ABC үшбұрышында B=90. D нүктесі CB түзуінде B нүктесі D мен C арасында жататындай алынған. E нүктесі -- AD кесіндісінің ортасы, ал ACD және BDE үшбұрыштарына сырттай сызылған шеңберлер екінші рет F нүктесінде қиылысады. D нүктесінің алуына қарамастан, барлық EF түзулері тұрықты нүкте арқылы өтетінін дәлелдеңіз.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

  4
2 года 10 месяца назад #

Пусть FEBC=L и FE(ABC)=X Тогда в силу того что FDEB и FDXC - вписанные получаем: LEB=LDF=LXC значит EBXC Заметим что EDB=EBD=XCD значит ADCX равнобокая трапеция, отсюда: XC=AD=EB/2  значит EB средняя линия треугольника LXC значит LB=BC значит L симметрична точке C относительно B и все такие прямые EF проходят через эту точку значит L и есть фиксированная точка

  1
7 месяца 17 дней назад #

Пусть BCEF=G

Заметим что F точка микеля EABC значит F центр поворотной гомотетии переводящий FEA и FBC отсюда FEEA=FBBC.Так как E середина большой дуги DFB значит FE внешняя бисектриса угла DFB, отсюда DFE=BFG и так как GBF=DEF значит DFE~FBG <=> FEED=FBBG

Из начального соотношения следует что BG=BC значит G это отражение C относительно B.