Математикадан аудандық олимпиада, 2021-2022 оқу жылы, 10 сынып

Теңбүйірлі $ABC$ ($AB =BC$) үшбұрышының ішінен $P$ нүктесі алынған. $\angle BAC = 30^\circ$, $AP = 2\sqrt{3}$, $BP = 2$, $CP = 2\sqrt{6}$ екені белгілі. $ABC$ үшбұрышының ауданын табыңыз.

Комментарий/решение

Шешуі: В нүктесінен айналдыра 120° қа бұруды қарастырайық.Бұл бұруда А нүктесі С нүктесіне ,ал Р нүктесі P_1 нүктесіне және АР кесіндісі СP1 кесіндісіне көшеді. ВРР1 үшбұрышы тең бүйірлі болғандықтан ВР = ВР1 = 2 СР1 = 2√3 , РС 2√6 . ∆ВРР1 – ден РР12 = ВР2 + ВР12 – 2ВР∙ВР1cos(∠PBP1 )

∠PBP1 = 120°, PР12 = 4 + 4 – 8 (-1/2)= 12. PP1 = 2√3 ∆PР1C – дан Р1С2 = PР12 + PC2 – 2PP1 *PCcos(∠P1PC) яғни 12 + 24 – 2*2√3*2√6 cos(∠P1PC) = 12⇒ ∠P1PC = 45°.∠ВРС = 30° + 45°= 75° ∆ BPC – дан ВС2 = BP2 + CP2 – 2BP*CPcos75° яғни ВС2 = 4 + 24 – 2*2*2√6*(√3-1)/(2√2) = 4√3 + 16. AB = BC = √(4√3+16)

S_∆ABC = 1/2 АВ*ВС*sin120°

S_∆ABC = 1/2 (√(4√3+16))^2 *√3/2 = 4√3 + 3

Жауабы :4√3 + 3