Математикадан аудандық олимпиада, 2021-2022 оқу жылы, 10 сынып

Санның соңғы цифрасын табыңыз $$ 1^{2022} + 2^{2022} + \cdots + 2021^{2022}. $$

Комментарий/решение

Шешуі: ең соңғы цифрды дәрежелерді қарастыру арқылы анықтаймыз

{█(2^1=2, 2^5= _2,@2^2=4, 2^6= _4,@〖 2〗^3=8, 2^7= _8,@ 2^4=_6, 2^8= _6,)┤ { █(3^1=3, 3^5= _3,@3^2=9, 3^6= _9,@3^3=_7, 3^7= _7,@ 3^4=_1, 3^8= _1,)┤

{█(7^1=7, 7^5= _7,@7^2=_9, 7^6= _9,@〖 7〗^3=_3, 7^7= _3,@ 7^4=_1, 7^8= _1,)┤ {█(8^1=8, 8^5= _8,@8^2=_4, 8^6= _4,@〖 8〗^3=_2, 8^7= _2,@ 8^4=_6, 8^8= _6,)┤

4 –тің тақ дәрежесі 4, ал жұп дәрежесі 6 цифрымен аяқталса, 9 – дың тақ және жұп дәрежелері сәйкесінше 9 – бен 1 цифрына аяқталады.

2,3,7,8 цифралымен аяқталатын сандардың дәрежелерінің соңғы цифрлары әрбір төрт дәрежеден кейін қайталанып отырады. Демек, бұл сандардың дәрежесін, яғни 2022 – ні осы қайталанатын саңға ( 4 – ке ) бөлеміз, сонда қалған қалдық санның дәрежесін көрсетеді. 2022: 4 = 505*4 + 2

Сонымен, {█(2^2022=_4, 6^2022= _6,@3^2022=_9, 7^2022= _9,@〖 4〗^2022=_6, 〖 8〗^2022= _4,@ 5^2022=_5, 9^2022= _1,)┤

Олай болса,

1) 1^2022 + 2^2022 + ...+ 〖10〗^2022 – санының соңғы цифры: 2*1+2*4+5+2*6+2*9 = 45, яғни 5 – пен аяқталады.

2) 2020:10= 202, 45*202 = 9090. 1^2022 + 2^2022 + ...+ 〖2020〗^2022 – санының соңғы цифры 0 – мен аяқталады

3) Берілген санның соңғы цифры 0 + 1 = 1 цифрымен аяқталады

Жауабы: 1

Рассмотреть $mod$ $10.$

а потом что?

расписать другие задачи, сдать олимпиаду.

Решение

1ⁿ=1 всегда,тогда можно его зачеркнуть из этой последовательности

Тогда получим:2²⁰²²+3²⁰²²...+2021²⁰²²,получаем последовательность 2020 числами,вспомнимаем формулу суммы ариф.прогрессии

S=((x¹+xⁿ)/2)×N

Так как число 2020 оканчивается на 0,то вся сумма будет иметь в конце ноль,добавляем зачеркнутую единицу получаем ответ

((2²⁰²²+2021²⁰²²/2)2020)+1=....0+1=1

Ответ:1

(простенько =))

На самом деле, 2^2022, 3^2022,... не составляют арифметическую прогрессию

Главное что работает

брат почему ариф. прогрессия?!!!!!!!!!!!!!!

Мопсик, не "брат", а "братишка". Потому что он скорее всего 6-7 класс, его решение такое бредовое.

lmao fr fr

Я пятый класс

Ну а если по серьёзному,то меня заинтересовало что неверное утверждение дает верный ответ

Но в основном неверные выводы приводит к неверным результатам. Это не только про олимпиады, но и про жизнь тоже

Просто повезло не более

Было бы более странно если верное утверждение, давало бы не верный ответ)

хорошая ава и никнейм

Благодарю

WHAT THE HELL.

заметим что число нечетное, следовательно оно оканчивается на $1,3,5,7,9$

по малой теореме ферма $x^4\equiv 1$ $\pmod 5$

возведем сравнение на $505$ степень и умножим на $x^2$ , получаем $x^{2022}\equiv x^2$

тогда сама сумма сравнима с $1^2+2^2+\ldots+2021^2$ чему равно $\dfrac{2021•2022•4043}{6}$ которое дает остаток $1$ по модулю $5$, а так как число нечетное то оканчивается на $1$