Математикадан аудандық олимпиада, 2021-2022 оқу жылы, 9 сынып

$ABC$ бұрышында $AL$ биссектрисасы жүргізілген. $LK$ түзуі $ABC$ үшбұрышына іштей сызылған шеңберді жанайтындай $AC$ қабырғасынан $K$ нүктесі алынған. $BL = 4$, $AL = CL =5$ екені белгілі. $CK$ кесіндісінің ұзындығын табыңыз.

Комментарий/решение

Шешуі: Шеңбер үшбұрыштың қабырғаларымен М,N,Р нүктелерінде ал LК кесіндісімен Т нүктесінде жанасатын болсын. LP = LT = x, AN = AM = y,

KM = KT = z, CP = CM = x +5, BP = 4 – x CK = x+5 – z

(y+x+5)/(y+4-x) = 5/4 ⟹ y = 9x . ∠ALC = α, ∠ALB = 180- α

∆ALB және ∆ALC-дан cos α – ны анықтасақ, келесі теңдеуді аламыз

5(8x + 4)2 + 4(10x + 5)2 = 405⟹ x = 1/4 Сонымен, AB = 6, BC = 9, AC = 7,5

∆ABC- дан cosC = 29/36 ∆KLC – дан косинустар теоремасы бойынша

(21/4-z)^2 + 25 - 2(21/4-z)∙5∙29/36 = (z+ 1/4)^2⟹ z = 735/212 CK = 1/4 + 5 - 735/212 = 183/106

Жауабы:183/106

Мне понравилось ваше решение. Оно очень красивое))

Но я не могу понять:

если районная олимпиада для 9 класса проводится обычно где-то во 2 четверти это ноябрь-декабрь, то как ученики обычной школы смогут решить эту задачу, если теорему косинусов по учебному плану они проходят в 3 четверти в январе-феврале?

Официальное решение данной задачи не подразумевало знание и использование теоремы косинусов

хороший вопрос!

Давайте на вашем примере перейдем к биологам. У биологов в олимпиадах множество вопросов которых нет в школьной программе, но все же это не останавливает других читать другие книги относящие к "олимпиадным". По этому я думаю что по этой же логике можно будет и относиться к математическим задачам :)

Ту же теорему $AM \geq GM$ не изучают ни в одной школьной программе, и догадаться до нее почти невозможно, но все же, никто пока не жалуется

менің есептеуім бойынша басқа мән шықты. Бірге талқылай аламыз ба?