Математикадан аудандық олимпиада, 2021-2022 оқу жылы, 9 сынып

Қайрат пен Малика бір үйде тұрады. Әр подъезде пәтерлердің саны бірдей және әр қабатта 4 пәтер бар. Қайрат үшінші қабатта $83$ пәтерде тұрады, ал Малика — жетінші қабатта 205 пәтерде тұрады. Үйде қанша қабат бар?

Комментарий/решение

Шешу: Этаждың саны $x$ делік, сонда кез – келген подьездегі квартираның саны $4x$, ал 1 – ші подьезден бастап келесі әрбір подьездегі квартиралардың нөмірлері сәйкесінше $1 – 4x$, $4x + 1 – 8x$, $8x + 1 – 12x$ т.с.с. болады. Есеп шарты бойынша Қайрат 3 – ші этаждың 83 квартирасында тұратындықтан және әрбір этаждың бірінші квартирасының нөмірі тақ саннан басталатындықтан

\[4x + 9 = 81, \quad 8x + 9 = 81, \quad 12x + 9 = 81\]

\[x = 18, \quad x = 9, \quad x = 6\]

$x = 6$ есеп шартын қанағаттандырмайды. Малика 7 этаждың 205 квартирасында тұрады, демек, $20x + 25 = 205$. $x = 9$, $x \neq 18$

Жауабы: этаждың саны 9

Заметим что кайрат живет на 208:4=52, а малика на 84:4=21 этаже. Тогда если отнять этажи в каждом из подъезде получим 45 и 18. Они должны делится на кол-во этажей, а общие делетили у них только 3, 9, но так как 3<4 ответ:9