Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

Эйлер атындағы олимпиада, 2021-2022 оқу жылы, аймақтық кезеңнің 2 туры


1, 2, ..., 100 сандары (нөмірлері) жазылған 100 фишканы осы ретпен сағат тілінің бағыты бойынша 100-бұрыштың төбелеріне орналастырылды. Жүріс кезінде көрші төбелерде орналасқан екі фишканың орындарын ауыстыруға рұқсат етіледі, егер олардың нөмірлер айырмасы k-дан аспайтын болса. Осындай операциялар көмегімен, k санының қандай ең кіші мәнінде, әрбір фишканы өзінің бастапқы орнына қарағанда сағат тілімен бір позицияға жылжыта аламыз? ( С. Берлов )
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.    
Решение. Пример. Фишку 50 последовательно 99 раз меняем со следующей против часовой стрелки.
   Оценка. Рассуждаем от противного. Пусть k<50. Будем считать сдвиги фишек относительно их начальных позиций, причем сдвиг по часовой стрелке считаем с плюсом, против часовой — с минусом. Тогда при обмене двух фишек к сдвигу одной из них прибавляется 1, а из сдвига другой вычитается 1. Пусть после нескольких ходов все фишки сместились на одну позицию по часовой стрелке. Тогда полный сдвиг фишки с номером k равен 100tk+1, где tk — число полных оборотов этой фишки (обороты по часовой стрелке считаются со знаком плюс, а против часовой — со знаком минус). Так как k<50, фишки с номерами 1 и 51 не могли меняться местами, и потому совершили одинаковое число полных оборотов, то есть t1=t51. Аналогично, t2=t52, , t50=t100. Поэтому сумма всех сдвигов всех фишек равна 100(2t1++2t50+1). Она должна быть равна 0, так как равна 0 сумма сдвигов при каждом ходе. Но она не равна 0, так как сумма в скобках нечетна. Противоречие.