Эйлер атындағы олимпиада, 2021-2022 оқу жылы, аймақтық кезеңнің 2 туры
Комментарий/решение:
Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.
Решение. Пример. Фишку 50 последовательно 99 раз меняем со следующей против часовой стрелки.
Оценка. Рассуждаем от противного. Пусть k<50. Будем считать сдвиги фишек относительно их начальных позиций, причем сдвиг по часовой стрелке считаем с плюсом, против часовой — с минусом. Тогда при обмене двух фишек к сдвигу одной из них прибавляется 1, а из сдвига другой вычитается 1. Пусть после нескольких ходов все фишки сместились на одну позицию по часовой стрелке. Тогда полный сдвиг фишки с номером k равен 100tk+1, где tk — число полных оборотов этой фишки (обороты по часовой стрелке считаются со знаком плюс, а против часовой — со знаком минус). Так как k<50, фишки с номерами 1 и 51 не могли меняться местами, и потому совершили одинаковое число полных оборотов, то есть t1=t51. Аналогично, t2=t52, …, t50=t100. Поэтому сумма всех сдвигов всех фишек равна 100(2t1+…+2t50+1). Она должна быть равна 0, так как равна 0 сумма сдвигов при каждом ходе. Но она не равна 0, так как сумма в скобках нечетна. Противоречие.
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.