Олимпиада имени Леонарда Эйлера 2021-2022 учебный год, I тур регионального этапа

В треугольнике $ABC$ проведены биссектрисы $BK$ и $CL$. На отрезке $BK$ отмечена точка $N$ так, что $LN \parallel AC.$ Оказалось, что $NK = LN$. Найдите величину угла $ABC$. ( А. Кузнецов )

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.    
Ответ. $120^\circ.$
Решение. В равнобедренном треугольнике $LNK$ $\angle KLN = \angle LKN.$ Кроме того, равны углы $KLN$ и $LKA$ как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых $LN$ и $AC$. Таким образом, $\angle KLN = \angle LKA$, то есть луч $KL$ — биссектриса угла $AKB.$ Следовательно, лежащая на нём точка $L$ равноудалена от прямых $KA$ и $KB$. Кроме того, она равноудалена от прямых $CA = KA$ и $CB$, так как лежит на биссектрисе угла $ACB$. Значит, точка $L$ равноудалена от прямых $CB$ и $KB$, и потому должна лежать на биссектрисе того из углов, образованных этими прямыми, в котором она содержится. Это угол $KBC_1$, где $C_1$ — точка на продолжении отрезка $CB$ за точку $B$, а его биссектрисой должен быть луч $BL = BA$. Отсюда получаем, что $\angle ABC_1 = \angle ABK = \angle CBK.$ Так как эти три угла вместе составляют развёрнутый угол, то каждый из них равен $60^\circ$, откуда $\angle ABC = \angle ABK+\angle CBK = 120^\circ.$

кароч типа $\angle KLN = \angle LKN = \angle LKA$ значит $LK$ биссектрисса внешнего $\angle BKC$. Также, $LC$ биссектрисса $\angle KCB$, значит $L$ - центр вневписанной окружности $\triangle BKC$ значит $LB$ биссектрисса внешнего $\angle KBC$ значит три равных угла составляют развернутый угол, значит $\angle ABC = 60*2 = 120$