Эйлер атындағы олимпиада, 2021-2022 оқу жылы, аймақтық кезеңнің 1 туры

$ABC$ үшбұрышында $BK$ және $CL$ биссектриссалары жүргізілген. $BK$ кесіндісінде $N$ нүктесі алынған солай, $LN \parallel AC$ болатындай. $NK = LN$ екені белігілі болды. $ABC$ бұрышының өлшемін табыңыз. ( А. Кузнецов )

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.    
Ответ. $120^\circ.$
Решение. В равнобедренном треугольнике $LNK$ $\angle KLN = \angle LKN.$ Кроме того, равны углы $KLN$ и $LKA$ как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых $LN$ и $AC$. Таким образом, $\angle KLN = \angle LKA$, то есть луч $KL$ — биссектриса угла $AKB.$ Следовательно, лежащая на нём точка $L$ равноудалена от прямых $KA$ и $KB$. Кроме того, она равноудалена от прямых $CA = KA$ и $CB$, так как лежит на биссектрисе угла $ACB$. Значит, точка $L$ равноудалена от прямых $CB$ и $KB$, и потому должна лежать на биссектрисе того из углов, образованных этими прямыми, в котором она содержится. Это угол $KBC_1$, где $C_1$ — точка на продолжении отрезка $CB$ за точку $B$, а его биссектрисой должен быть луч $BL = BA$. Отсюда получаем, что $\angle ABC_1 = \angle ABK = \angle CBK.$ Так как эти три угла вместе составляют развёрнутый угол, то каждый из них равен $60^\circ$, откуда $\angle ABC = \angle ABK+\angle CBK = 120^\circ.$