Олимпиада имени Леонарда Эйлера 2021-2022 учебный год, II тур дистанционного этапа

Докажите, что если прямые $y = kx+m,$ $y = mx+n$ и $y = nx+k$ на координатной плоскости имеют общую точку, то они совпадают. ( С. Токарев )

Комментарий/решение

Пусть k ≥ m и k ≥ n (случаи, когда наибольшим коэффициентом является m или n,

аналогичны). Пусть a — абсцисса какой-либо общей точки прямых. Тогда ka+m = ma+n = na+k, откуда

(k–m)a = n–m, (m–n)a = k–n и (n–k)a = m–k.

Допустим, коэффициенты k, m, n попарно различны. Тогда a = (n–m)/(k–m) = (k–n)/(m–n), откуда (k–m)(k–n) = –(n–m)2. Но по нашему предположению k > m и k > n, поэтому левая часть последнего равенства положительна и не может равняться правой, которая не положительна. Значит, рассматриваемый случай невозможен.

Допустим, k = m. Тогда n–m = (k–m)a = 0, откуда m = n = k, и прямые совпадают. Случаи k = n и m = n рассматриваются аналогично.

Круто то что ты начала писать решение на матол. Но что бы твою решение была красивым и легко читалось тебе нужно использовать $LaTeX$. С помощью него ты можешь написать вот так: $k \geq m$ или $(k-m)a=n-m$. Чтобы прочитать про $LaTeX$ тебе нужно сделать так: Нажать на "Добавить", далее сверху куда ты пишешь решение выйдет "Правила набора формул", далее если нажать на кнопку выйдет новая вкладка где нужно прочитать "Правила оформления задач". Там основных самых нужных формул несколько, если изучить их будет достаточно

так же можешь юзать лучший и удобнейший Латех писатель текстов:

https://latex.codecogs.com/eqneditor/editor.php