Районная олимпиада, 2013-2014 учебный год, 8 класс

Длина высоты $AD$ треугольника $ABC$ в два раза меньше длины стороны $BC$. Может ли угол $A$ быть тупым?

Комментарий/решение

Пусть $BC=a$, $AC=b$, $AB=c$, $BD=x$, тогда $AD=\cfrac{a}{2}$, $CD=a-x$.

Применив теорему Пифагора, получим:

$b^2=(a-x)^2+\left(\cfrac{a}{2}\right)^2=a^2-2ax+x^2+\cfrac{a^2}{4}$,

$c^2=x^2+\left(\cfrac{a}{2}\right)^2=x^2+\cfrac{a^2}{4}$.

Применив теорему косинусов, получим:

$\cos{\angle A}=\cfrac{b^2+c^2-a^2}{2bc}=\cfrac{a^2-2ax+x^2+\cfrac{a^2}{4}+x^2+\cfrac{a^2}{4}-a^2}{2bc}=$

$=\cfrac{\cfrac{a^2}{2}-2ax+2x^2}{2bc}=\cfrac{a^2-4ax+4x^2}{4bc}=\cfrac{(a-2x)^2}{4bc}$.

Тогда $\cos{\angle A}\geqslant 0$, значит $\angle A \leqslant 90^{\circ}$

h_Другой способ решения@http://matol.kz/comments/39/show_h

Угол ADB - прямой а треугольник ABD равнобедренный, так как по условию AD=1/2BC=BD Углы при основании AB равны 45 градусов. Аналогично рассмотрим треугольник ADC, углы при основании AC тоже по 45 градусов. Отсюда угол BAC = 45+45=90 градусов Ответ: угол A не превышает 90 градусов, значит не может быть тупым.

С чего это вдруг BD=1/2BC...

Потому что, по условию AD это половина от BC, а BC равно BD+BC