Олимпиада Туймаада по математике. Младшая лига. 2021 год

Дано $n$ различных натуральных чисел. Рассмотрим все $n(n - 1)/2$ попарных сумм этих чисел. Для каждой из этих попарных сумм на доску выписали количество исходных чисел, меньших этой суммы, на которые эта сумма делится. Какое наибольшее значение может принимать сумма выписанных на доске чисел? ( С. Берлов )

Комментарий/решение

пусть $a_1>a_2>...>a_n$ - данные числа, тогда для $a_k$ не может быть так, что $a_i+a_j : ak$, где частное >2, где $i и j$ меньше $k$. Тогда для ak оно будет записываться максимум $k(k-1)/2$ раз, ===> ответ это сумма $k(k-1)/2$ для всех $k=1,2,...n$, то есть $(n-1)n(n+1)/6$

Пример: $a_i=i!$