Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

Олимпиада Туймаада по математике. Старшая лига. 2021 год


Точка M — середина основания AD трапеции ABCD. На отрезке BM отмечена точка E. Оказалось, что ADB=MAE=BMC. Докажите, что треугольник BCE — равнобедренный. ( А. Кузнецов )
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

  3
2 года 11 месяца назад #

Пусть имеется треугольник BFM опишем окружность ω пусть BC касательная к ω и M,F,C и MD||BC что B,F,D лежат на одной прямой.

Пусть ω1 окружность описанная около BFC и Eω1BM и AMD и MA=MD откуда EBC=180ab и BEC=BFC=180ab тогда BCE равнобедренный, справедливо утверждение ADB=MAE=BMC

Доказательство: BMC=a, CMD=b тогда , так как BC касательная получается DBC=a, BCM=b покажем что треугольники AEM, MFC подобны, так как AME=MFD=180ab то есть покажем что : MEMA=MFFD учитывая что MA=MD тогда MFME=FDMD что верно так как MFME=MBMC=FDMD так как MBC,MFD подобны .

  1
2 года 10 месяца назад #

возмем пересечения AE и BC как точка K тогда у нас ABKD равнобокая трапеция

пусть O пересечения AK и BD. Легко найти вписанность EKCM, пусть прямая MO пересекает BK в точке P тогда BP=PK и еще MO перпендикулярно BK если возмем середину отрезка BЕ как N то NP паралельно EK отсюда четырехугольник NPCM вписанный т.е CN перпендикулярно BM т.к MO перпендикулярно BС, поэтому BC=EC.