Олимпиада Туймаада по математике. Старшая лига. 2021 год
Комментарий/решение:
Пусть имеется треугольник BFM опишем окружность ω пусть BC касательная к ω и M,F,C и MD||BC что B,F,D лежат на одной прямой.
Пусть ω1 окружность описанная около BFC и E∈ω1∩BM и A∈MD и MA=MD откуда ∠EBC=180−a−b и ∠BEC=∠BFC=180−a−b тогда BCE равнобедренный, справедливо утверждение ∠ADB=∠MAE=∠BMC
Доказательство: ∠BMC=a, ∠CMD=b тогда , так как BC касательная получается ∠DBC=a, ∠BCM=b покажем что треугольники AEM, MFC подобны, так как ∠AME=∠MFD=180−a−b то есть покажем что : MEMA=MFFD учитывая что MA=MD тогда MFME=FDMD что верно так как MFME=MBMC=FDMD так как MBC,MFD подобны .
возмем пересечения AE и BC как точка K тогда у нас ABKD равнобокая трапеция
пусть O пересечения AK и BD. Легко найти вписанность EKCM, пусть прямая MO пересекает BK в точке P тогда BP=PK и еще MO перпендикулярно BK если возмем середину отрезка BЕ как N то NP паралельно EK отсюда четырехугольник NPCM вписанный т.е CN перпендикулярно BM т.к MO перпендикулярно BС, поэтому BC=EC.
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.