Олимпиада Туймаада по математике. Старшая лига. 2021 год

Точка $M$ — середина основания $AD$ трапеции $ABCD$. На отрезке $BM$ отмечена точка $E$. Оказалось, что $\angle ADB = \angle MAE = \angle BMC$. Докажите, что треугольник $BCE$ — равнобедренный. ( А. Кузнецов )

Комментарий/решение

Пусть имеется треугольник $BFM$ опишем окружность $\omega$ пусть $BC$ касательная к $\omega$ и $M,F,C$ и $MD || BC$ что $B,F,D$ лежат на одной прямой.

Пусть $\omega_{1}$ окружность описанная около $BFC$ и $ E \in \omega_{1} \cap BM$ и $A \in MD$ и $ MA=MD$ откуда $\angle EBC = 180-a-b$ и $\angle BEC = \angle BFC = 180-a-b$ тогда $BCE$ равнобедренный, справедливо утверждение $\angle ADB = \angle MAE = \angle BMC$

Доказательство: $\angle BMC = a, \ \angle CMD = b $ тогда , так как $BC$ касательная получается $\angle DBC = a, \ \angle BCM = b $ покажем что треугольники $AEM, \ MFC$ подобны, так как $\angle AME = \angle MFD = 180-a-b$ то есть покажем что : $$ \dfrac{ME}{MA} = \dfrac{MF}{FD} $$ учитывая что $MA=MD $ тогда $$ \dfrac{MF}{ME} = \dfrac{FD}{MD} $$ что верно так как $\dfrac{MF}{ME} = \dfrac{MB}{MC} = \dfrac{FD}{MD}$ так как $MBC, MFD$ подобны .

возмем пересечения $AE$ и $BC$ как точка $K$ тогда у нас $ABKD$ равнобокая трапеция

пусть $O$ пересечения $AK$ и $BD$. Легко найти вписанность $EKCM$, пусть прямая $MO$ пересекает $BK$ в точке $P$ тогда $BP=PK$ и еще $MO$ перпендикулярно $BK$ если возмем середину отрезка $BЕ$ как $N$ то $NP$ паралельно $EK$ отсюда четырехугольник $NPCM$ вписанный т.е $CN$ перпендикулярно $BM$ т.к $MO$ перпендикулярно $BС$, поэтому $BC=EC$.