Леонард Эйлер атындағы олимпиада, 2020-2021 оқу жылы, қорытынды кезеңнің 1-ші туры

$y = ax+b,$ $y = bx+c,$ $y = cx+d,$ $y = dx+a$ түзулері квадрат қабырғаларын шектейді. Осы квадраттың ауданы нешеге тең болуы мүмкін? Барлық мүмкін жағдайларды көрсетіңіз. ( И. Рубанов )

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.    
Ответ. 2.
Решение. Данные в условии прямые разбиваются на две пары параллельных. Поэтому либо 1) $a = b$ и $c = d,$ либо 2) $a = c$ и $b = d,$ либо 3) $a = d$ и $b = c.$ В первом случае квадрат ограничен прямыми $y = ax+a,$ $y = ax+c,$ $y = cx+c,$ $y = cx+a.$ Прямая $y = ax+a$ пересекается с прямыми $y = cx+c$ и $y = cx+a$ в точках $M(-1, 0)$ и $N(0, a),$ а прямая $y = ax+c$ — в точках $Q(0, c)$ и $P(1, a+c).$ Так как точки $M$ и $P$ лежат с разных сторон от прямой $NQ,$ отрезки $MP$ и $NQ$ являются диагоналями квадрата. Следовательно, вершины квадрата, идут в порядке $MNPQ,$ а точка $P$ лежит на оси абсцисс, то есть имеет координаты $(1, 0),$ откуда $PM = 2.$ Осталось заметить, что в случае $a = 1,$ $c =-1$ $MNPQ $ — действительно квадрат площади $PM^2/2 = 2.$ Третий случай аналогичен первому, а второй невозможен, так как тогда прямые $y = ax+b$ и $y = cx+d$ совпадают.