Математикадан облыстық олимпиада, 2021 жыл, 10 сынып
Комментарий/решение:
При каких натуральных n число (n – 1)! делится на 2021n2 ?
Шешуі:1) n!/n^n =1 онда n=1
(n-1)!/〖2021n〗^2 = t, t∈N⇒(n – 1)! > 2021n2 = 43∙47n2 n – 1 <n2 ендеше n – 1 >43, n>44
2) (n – 1 )! Жұп сан, демек n жай сан емес (n-1)!/〖2021n〗^2 = n!/( 43∙47n^3 ) , n = 45,
45!/( 43∙47〖∙45〗^3 ) = (42!∙44)/(47∙〖45〗^2 ) , 47 жай сан, олай болса көбейтінді 47∙〖45〗^2 – на бөлінбейді
n ≠46, n≠47
n = 48, 48!/( 43∙47〖∙48〗^3 )= (42!∙44∙45∙46)/〖48〗^2 = (42!∙2^3∙3^2∙5∙11)/(2^8∙3^2 ) = (42!∙5∙11)/2^5 бөлінеді, өйткені 25 = 32
n= 2021, 2021!/(2021∙〖2021〗^3 )= 2020!/〖2021〗^3 бөлінеді,
өйткені 43∙47∙86∙94∙129∙141=36∙〖2021〗^3
3) n! және 2021n3 сандарын жай көбейткіштерге жіктегенде негіздері бірдей жай көбейткіштердің дәрежелері n! жіктелуінде 2021n3 – ке қарағанда артық болады.
Жауабы: n ≥ 48, n жай сан емес
Логично будет сказать что бы слева делилось на справа, слева должно делиться на 43, 47 и на n2. А так как 47 простое, то n=1 или же n≥47. Теперь пусть n=pdk где p максимальный простой делитель n и пока d=1.Ну быть k=1 не может; соответственно n не простое, ибо слева просто не найдётся это простое. Быть k=2 тоже не может, ибо слева найдётся p, но найдётся лишь раз, а справа стоит n2, значит p слева должно найтись как минимум 2 раза. А при k>2 уже найдётся. При d>1 тоже так работает.
ответ: (n=1;n≥47,n≠pd,n≠2pd) p->prime.
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.