Математикадан облыстық олимпиада, 2021 жыл, 10 сынып

Қандай $n$ натурал сандары үшiн $(n-1)!$ саны $2021n^2$-қа бөлiнедi?

Комментарий/решение

При каких натуральных n число (n – 1)! делится на 2021n2 ?

Шешуі:1) n!/n^n =1 онда n=1

(n-1)!/〖2021n〗^2 = t, t∈N⇒(n – 1)! > 2021n2 = 43∙47n2 n – 1 <n2 ендеше n – 1 >43, n>44

2) (n – 1 )! Жұп сан, демек n жай сан емес (n-1)!/〖2021n〗^2 = n!/( 43∙47n^3 ) , n = 45,

45!/( 43∙47〖∙45〗^3 ) = (42!∙44)/(47∙〖45〗^2 ) , 47 жай сан, олай болса көбейтінді 47∙〖45〗^2 – на бөлінбейді

n ≠46, n≠47

n = 48, 48!/( 43∙47〖∙48〗^3 )= (42!∙44∙45∙46)/〖48〗^2 = (42!∙2^3∙3^2∙5∙11)/(2^8∙3^2 ) = (42!∙5∙11)/2^5 бөлінеді, өйткені 25 = 32

n= 2021, 2021!/(2021∙〖2021〗^3 )= 2020!/〖2021〗^3 бөлінеді,

өйткені 43∙47∙86∙94∙129∙141=36∙〖2021〗^3

3) n! және 2021n3 сандарын жай көбейткіштерге жіктегенде негіздері бірдей жай көбейткіштердің дәрежелері n! жіктелуінде 2021n3 – ке қарағанда артық болады.

Жауабы: n ≥ 48, n жай сан емес

$n=58$; не работает

Логично будет сказать что бы слева делилось на справа, слева должно делиться на 43, 47 и на $n^2$. А так как 47 простое, то $n=1$ или же $n \geq 47$. Теперь пусть $n=p^{d} k$ где $p$ максимальный простой делитель $n$ и пока $d=1$.Ну быть $k=1$ не может; соответственно $n$ не простое, ибо слева просто не найдётся это простое. Быть $k=2$ тоже не может, ибо слева найдётся $p$, но найдётся лишь раз, а справа стоит $n^2$, значит $p$ слева должно найтись как минимум 2 раза. А при $k>2$ уже найдётся. При $d>1$ тоже так работает.

ответ: $(n=1; n\geq47, n≠p^{d}, n≠2p^{d})$ $p$->prime.