Processing math: 3%

Областная олимпиада по математике, 2021 год, 9 класс


Найти все пары (x,y) натуральных чисел, которые удовлетворяют уравнению 1252x3y=271.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

  2
4 года 1 месяца назад #

Рассмотрим остатки mod 25

-3^y\equiv 271 \equiv -4 \mod{25}

откуда следует, что y \equiv 6 \mod{20}. Так как y \ge 6, если рассмотреть исходное по mod 27, то будет

125 \cdot 2^x \equiv 1 \mod{27}

или

2^x \equiv 8 \mod{27}

откуда,

x \equiv 3 \mod{18}.

Рассмотрим теперь по mod 19,

125 \cdot 2^x - 3^y \equiv 5 \mod{19}

так как \varphi(19)=18, то

125 \cdot 2^3 - 3^y \equiv 5 \mod{19}

откуда

3^y \equiv 7 \mod{19}

что возможно только при y \equiv 6 \mod{18}. Получается x, y кратны 3, введем замену, x = 3m, ~y = 3n:

5^3 \cdot 2^{3m} - 3^{3n} = 271.

По ФСУ разности кубов

(5 \cdot 2^{m} - 3^{n})(25 \cdot 2^{2m} +5 \cdot 2^{m} \cdot 3^{n} +3^{2n})= 271.

Левая скобка меньше правой и 271 простое поэтому

\begin{cases} 5 \cdot 2^{m} - 3^{n} = 1 \\ 25 \cdot 2^{2m} +5 \cdot 2^{m} \cdot 3^{n} +3^{2n}= 271 \end{cases}

Тогда, 271 - 1^2 = 3 \cdot (5 \cdot 2^{m} \cdot 3^{n} )=270. Очевидно, что m=1, n=2 откуда x=3, y=6. Делаем проверку,

125 \cdot 8 - 729 = 271. ~ \square

пред. Правка 3   0
3 года назад #

125 \cdot 2^x-270=3^y+1

По (mod 5) LHS даёт остаток 0,и поэтому RHS должно дать также остаток 0.

3^1 \equiv 3\pmod{5},3^2 \equiv 4\pmod{5},3^3 \equiv 2\pmod{5},3^4 \equiv 1\pmod{5} и т.д.Тогда y принимает вид 4k+2,где k=0,1,2,\ldots.

125 \cdot 2^x-3^{4k+2}=271

Предположим,что при x \geq 4 у нас имеются решения.Тогда по (mod 16) 125 \cdot 2^x делится на 16,т.е 3^{4k+2} \equiv 271 \pmod{16}.

3^{4k+2}=81^k \cdot 9 \equiv 15\pmod{16} (по (mod 16) 271 даёт остаток 15)

Заметим,что 81^{free} \equiv 1\pmod{16}.Тогда мы получим,что 9 \equiv 15 \pmod{16},что невозможно.Поэтому x \leq 3.Подставляем и получаем единственный ответ,когда (x,y)=(3,6).

  3
2 года 3 месяца назад #

we know y is even and x is odd ,5\leq x ,3^y\equiv 9,17,25,1 \pmod {32} and 271\equiv 15 \pmod {32} \rightarrow 3^y\equiv17\pmod{32} so y=4k+2, 3^{4k+2}\equiv \pmod {32} ,81^k*9 \equiv 25,9 \pmod {32} but 271\equiv 15 \pmod {32} so x \leq4 and we have only one answer is x=3 ,y=6

  0
6 месяца 23 дней назад #

Ответ:(x; y)=(3; 6)

Для x \geq 4, имеем 125 \cdot 2^x \equiv 271 + 3^y \pmod {16} от которого следует что y = 4l. А также рассмотрим \pmod 5 тогда y = 4k + 2то есть x не может быть больше 4. Подставляем числа 1, 2, 3 после которого ответ выйдет