Областная олимпиада по математике, 2021 год, 9 класс
Комментарий/решение:
Рассмотрим остатки mod 25
-3^y\equiv 271 \equiv -4 \mod{25}
откуда следует, что y \equiv 6 \mod{20}. Так как y \ge 6, если рассмотреть исходное по mod 27, то будет
125 \cdot 2^x \equiv 1 \mod{27}
или
2^x \equiv 8 \mod{27}
откуда,
x \equiv 3 \mod{18}.
Рассмотрим теперь по mod 19,
125 \cdot 2^x - 3^y \equiv 5 \mod{19}
так как \varphi(19)=18, то
125 \cdot 2^3 - 3^y \equiv 5 \mod{19}
откуда
3^y \equiv 7 \mod{19}
что возможно только при y \equiv 6 \mod{18}. Получается x, y кратны 3, введем замену, x = 3m, ~y = 3n:
5^3 \cdot 2^{3m} - 3^{3n} = 271.
По ФСУ разности кубов
(5 \cdot 2^{m} - 3^{n})(25 \cdot 2^{2m} +5 \cdot 2^{m} \cdot 3^{n} +3^{2n})= 271.
Левая скобка меньше правой и 271 простое поэтому
\begin{cases} 5 \cdot 2^{m} - 3^{n} = 1 \\ 25 \cdot 2^{2m} +5 \cdot 2^{m} \cdot 3^{n} +3^{2n}= 271 \end{cases}
Тогда, 271 - 1^2 = 3 \cdot (5 \cdot 2^{m} \cdot 3^{n} )=270. Очевидно, что m=1, n=2 откуда x=3, y=6. Делаем проверку,
125 \cdot 8 - 729 = 271. ~ \square
125 \cdot 2^x-270=3^y+1
По (mod 5) LHS даёт остаток 0,и поэтому RHS должно дать также остаток 0.
3^1 \equiv 3\pmod{5},3^2 \equiv 4\pmod{5},3^3 \equiv 2\pmod{5},3^4 \equiv 1\pmod{5} и т.д.Тогда y принимает вид 4k+2,где k=0,1,2,\ldots.
125 \cdot 2^x-3^{4k+2}=271
Предположим,что при x \geq 4 у нас имеются решения.Тогда по (mod 16) 125 \cdot 2^x делится на 16,т.е 3^{4k+2} \equiv 271 \pmod{16}.
3^{4k+2}=81^k \cdot 9 \equiv 15\pmod{16} (по (mod 16) 271 даёт остаток 15)
Заметим,что 81^{free} \equiv 1\pmod{16}.Тогда мы получим,что 9 \equiv 15 \pmod{16},что невозможно.Поэтому x \leq 3.Подставляем и получаем единственный ответ,когда (x,y)=(3,6).
we know y is even and x is odd ,5\leq x ,3^y\equiv 9,17,25,1 \pmod {32} and 271\equiv 15 \pmod {32} \rightarrow 3^y\equiv17\pmod{32} so y=4k+2, 3^{4k+2}\equiv \pmod {32} ,81^k*9 \equiv 25,9 \pmod {32} but 271\equiv 15 \pmod {32} so x \leq4 and we have only one answer is x=3 ,y=6
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.