Processing math: 98%

Математикадан облыстық олимпиада, 2021 жыл, 9 сынып


Гипотенузасы AB болатындай ABC тiкбұрышты үшбұрышы берiлсiн. AB гипотенузасының ортасы болатын D нүктесiнен өтетiн түзу AC және BC түзулерiн сәйкесiнше P және Q нүктелерiнде қиып өтедi. M нүктесi PQ кесiндiсiнiң ортасы болсын. M нүктесiне қатысты D нүктесiне симметриялы R нүктесiнен AB гипотенузасына RF перпендикуляры жүргiзiлген. CM түзуi FCD бұрышының биссектрисасы болатынын дәлелдеңiз.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

  4
4 года 1 месяца назад #

По условию DM=MR, FRDF, тогда DM=MF. Значит, достаточно доказать, что C, D, M, F лежат на одной окружности.

Пусть DFM=MDF=α, CBA=β. Тогда CPQ=α+β. Точка M середина гипотенузы PQ, поэтому PCM=α+β. По аналогичной причине, BCD=β.

DCM=BCMBCD=α+ββ=α=DFM

следовательно, C, D, M, F лежат на одной окружности.

Если P ближе к B чем к C, то CM биссектриса внутреннего угла DCF, иначе внешнего (см. рисунок 1 и 2).

пред. Правка 2   7
2 года 3 месяца назад #

заметим что BCA=90 и он смотрит на BA,QP под этим углом отсюда легко понять что BA,QP диаметры описанной окруности , заметим DRF его медиана FM FM=RM=MD значит нам домтаточно доказать что CF=CD заметим что BFC/2=CBA,,CDB=1802CBA ,CFA=180CFB ,CF=CD значит это kite откуда CM бисектриса

  6
2 года 3 месяца назад #

Что такое "kite" в вашем решении

  7
2 года 3 месяца назад #

Это такая фигура на русском нет перевода но в aops вы вроде можете найти

  2
2 года 3 месяца назад #

На русском: "дельтоид"

пред. Правка 2   6
2 года 3 месяца назад #

Спасибо

  6
2 года 3 месяца назад #

https://mathmonks.com/kite