Математикадан облыстық олимпиада, 2021 жыл, 9 сынып
Комментарий/решение:
По условию DM=MR, FR⊥DF, тогда DM=MF. Значит, достаточно доказать, что C, D, M, F лежат на одной окружности.
Пусть ∠DFM=∠MDF=α, ∠CBA=β. Тогда ∠CPQ=α+β. Точка M середина гипотенузы PQ, поэтому ∠PCM=α+β. По аналогичной причине, ∠BCD=β.
∠DCM=∠BCM−∠BCD=α+β−β=α=∠DFM
следовательно, C, D, M, F лежат на одной окружности. ◻
Если P ближе к B чем к C, то CM биссектриса внутреннего угла ∠DCF, иначе внешнего (см. рисунок 1 и 2).
заметим что ∠BCA=90 и он смотрит на BA,QP под этим углом отсюда легко понять что BA,QP диаметры описанной окруности , заметим △DRF его медиана FM → FM=RM=MD значит нам домтаточно доказать что CF=CD заметим что ∠BFC/2=∠CBA,→,∠CDB=180−2∠CBA ,∠CFA=180−∠CFB →,CF=CD значит это kite откуда CM бисектриса
Это такая фигура на русском нет перевода но в aops вы вроде можете найти
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.