Математикадан Эйлер олимпиадасы, 2020-2021 оқу жылы, Дистанциялық кезеңнің 2-ші туры

$a$ және $b$ оң сандары үшін $a^3+ab-b^3 = (a+b)^2$ теңдігі орындалады. $a-b$ азайтындысы нешеге тең болуы мүмкін? ( Жюри )

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.    
Ответ. $a-b = 1.$
Решение. $a^3+ab-b^3 = (a+b)^2$ $\Leftrightarrow$ $(a-b)(a^2+ab+b^2)+ab = a^2+2ab+b^2$ $\Leftrightarrow$ $(a-b-1)(a^2+ab+b^2) = 0.$ Так как $a^2+ab+b^2 > 0,$ то $a-b-1 = 0,$ откуда и получаем ответ.