Математикадан Эйлер олимпиадасы, 2020-2021 оқу жылы, Дистанциялық кезеңнің 1-ші туры

Оң $a,$ $b,$ $c,$ $d$ сандары үшін $(a+b+2c)^2 > d,$ $(b+c+2d)^2 > a,$ $(c+d+2a)^2 > b,$ $(d+a+2b)^2 > c$ теңсіздіктері орындалады. Олай болса $a+b+c+d > 1/4$ екенін дәлелдеңіз. ( И. Богданов )

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.    
Решение. Пусть $d$ — наибольшее из четырех данных чисел (другие случаи аналогичны). Тогда $(a+b+c+d)^2 \ge (a+b+2c)^2 > d \ge (a+b+c+d)/4,$ откуда $a+b+c+d > 1/4.$