Физикадан аудандық олимпиада, 10 сынып, теориялық тур, 2020-2021 оқу жылы

Қиысу бұрышы $\alpha = \pi/6$ және табанының радиусы $R=5$ см дөңгелек конус горизонталь жазықтық бойымен сырғанаусыз бірқалыпты дөңгелейді (төменгі суретті қара). Конустың төбесі, конус табанының центрі болып келетін $C$ нүктесімен бір деңгейде орналасқан $O$ нүктесінде, шарнирлі бекітілген. $C$ нүктесінің жылдамдығы $v=10$ см/с. Конустың бұрыштық жылдамдығының және бұрыштық үдеуінің модульдерін табыңыз. (5 ұпай)

Комментарий/решение

Эту задачу мы решали на теоретической механике в техвузе)

Ответ: угловая скорость: $\omega = 2.071[s^{-1}]$

угловое ускорение : $\varepsilon=1.072[s^{-2}]$

Рисунок вставлю чуть позже

*************Расчет угловой скорости*************

1)Векторное выражение для угловых скоростей:

$$\overrightarrow{\omega} = \overrightarrow{\omega_e} + \overrightarrow{\omega_r}$$

$\omega_e-$ переносная угловая скорость конуса

$\omega_r-$ относительная угловая скорость конуса

$\omega-$ результирующая угловая скорость конуса, ее мы и ищем

2)Вычислим $\omega_e$. Это угловая скорость вращения оси $OC$ вокруг точки $O$, откуда

$$\omega_e = \dfrac{v}{OC}$$

3)Вычислим $OC$

$$OC = \dfrac{R}{\tan\dfrac{\pi}{12}}=\dfrac{5[cm]}{0.2679} = 18.66[cm]$$

4) Из [3]:

$$\omega_e = \dfrac{v}{OC} = \dfrac{10[cm/s]}{18.66[cm]} = 0.536[s^{-1}]$$

5)Из треугольника угловых скоростей:

$$\omega = \dfrac{\omega_e}{\sin\dfrac{\pi}{12}} = \dfrac{0.536[s^{-1}]}{0.2588} =2.071[s^{-1}]$$

*************Расчет углового ускорения*************

1)Векторное выражение для угловых ускорений:

$$\overrightarrow{\varepsilon} = \overrightarrow{\varepsilon_{\parallel}} + \overrightarrow{\varepsilon_{\bot}}$$

$\varepsilon_{\parallel}-$ компонента углового ускорения в плоскости рисунка

$\varepsilon_{\bot}-$ компонента углового ускорения, перпендикулярная плоскости рисунка

2)Рассчитаем $\varepsilon_{\parallel},\varepsilon_{\bot}$

$$\omega = const\rightarrow\varepsilon_{\parallel} = \dfrac{d\omega}{dt}=0$$

$$\varepsilon_{\bot} =\left|\overrightarrow{\omega}\times\overrightarrow{\omega_e}\right|=\omega\cdot\omega_e\cdot\sin\dfrac{5\pi}{12}$$

$$\varepsilon_{\bot} = 2.071[s^{-1}]\cdot0.536[s^-1]\cdot0.966 = 1.072[s^{-2}]$$

Откуда $\varepsilon=\varepsilon_{\bot}=1.072[s^{-2}]$