Районная олимпиада, 2020-2021 учебный год, 11 класс

В треугольнике $ABC$ проведена биссектриса $CP,$ причём $AC : AP = 2:1.$ Известно, что $\angle CAB = 2\angle CBA.$ Найдите величину наибольшего угла треугольника $ABC.$

Комментарий/решение

Положив $\angle ACB = 2a$, $\angle BAC = 120^{\circ} - \dfrac{4a}{3}$ тогда $\dfrac{AC}{AP} = \dfrac{ \sin(120^{\circ} - \dfrac{a}{3}) }{sina} = 2$ заменив $a=3b$ и $sinb=t$ получается уравнение $\sqrt{3-3t^2}=11t - 16t^3$ возведя в квадрат $t^2(11-16t^2)^2 = 3-3t^2$ откуда

$(4t^2-3)(64t^4-40t^2+1) = 0$ то есть $t=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}, t= \dfrac{\sqrt{5 \pm \sqrt{21}}}{4}$ откуда наибольший $\angle BAC=120^{\circ}-4\arcsin( \dfrac{\sqrt{5-\sqrt{21}}}{4})$

последнее можно записать как $arccos(1/8)$

file:///C:/Users/User/Desktop/%D0%A1%D0%BD%D0%B8%D0%BC%D0%BE%D0%BA.PNG

Осы ссылкамен ашып көрсеңіздер болады қазақша шығарылған түсініктілеу мәтінде