Районная олимпиада, 2020-2021 учебный год, 11 класс
В треугольнике $ABC$ проведена биссектриса $CP,$ причём $AC : AP = 2:1.$ Известно, что $\angle CAB = 2\angle CBA.$ Найдите величину наибольшего угла треугольника $ABC.$
посмотреть в олимпиаде
Комментарий/решение:
Положив $\angle ACB = 2a$, $ \angle BAC = 120^{\circ} - \dfrac{4a}{3}$ тогда $\dfrac{AC}{AP} = \dfrac{ \sin(120^{\circ} - \dfrac{a}{3}) }{sina} = 2$ заменив $a=3b$ и $sinb=t$ получается уравнение $\sqrt{3-3t^2}=11t - 16t^3 $ возведя в квадрат $t^2(11-16t^2)^2 = 3-3t^2$ откуда
$ (4t^2-3)(64t^4-40t^2+1) = 0$ то есть $t=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}, t= \dfrac{\sqrt{5 \pm \sqrt{21}}}{4}$ откуда наибольший $ \angle BAC=120^{\circ}-4\arcsin( \dfrac{\sqrt{5-\sqrt{21}}}{4})$
file:///C:/Users/User/Desktop/%D0%A1%D0%BD%D0%B8%D0%BC%D0%BE%D0%BA.PNG
Осы ссылкамен ашып көрсеңіздер болады қазақша шығарылған түсініктілеу мәтінде
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.