Математикадан аудандық олимпиада, 2020-2021 оқу жылы, 9 сынып
Комментарий/решение:
Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.
Ответ. 82506.
Решение. Обозначим S=20!⋅21!. Пусть A — число делителей S, являющиеся полным квадратом, B — полным кубом, C — полной шестой степенью. Тогда ответом задачи будет число A+B−C. Разложим S на простые множители:
S=20!⋅21!=236⋅317⋅58⋅75⋅112⋅132⋅172⋅192.
Любой делитель числа S можно представить в виде
2a⋅3b⋅5c⋅7d⋅11e⋅13f⋅17g⋅19h,
где 0≤a≤36, 0≤b≤17, 0≤c≤8, 0≤d≤5, 0≤e≤2, 0≤f≤2, 0≤g≤2, 0≤h≤2.
Делитель числа S будет точным квадратом, если показатели степеней простых чисел в его каноническом разложении будут кратны 2. Для показателя a существует всего 19 вариантов (a∈{0,2,4,…,36}), для числа b 9 вариантов (b∈{0,2,4…,16}), для c 5 вариантов (c∈{0,2,4,6,8}), для d 3 варианта (d∈{0,2,4}), для e 2 варианта (e∈{0,2}), для f 2 варианта (f∈{0,2}) для g 2 варианта (g∈{0,2}), для h 2 варианта (h∈{0,2}).
По правилу произведения,
A=19⋅9⋅5⋅3⋅2⋅2⋅2⋅2=41040.
Аналогично, рассматривая возможные показатели, кратные 3, получим
B=13⋅6⋅3⋅2⋅1⋅1⋅1⋅1⋅1=468.
И, наконец, рассматривая возможные показатели, кратные 6, получим
C=7⋅3⋅2⋅1⋅1⋅1⋅1⋅1⋅1=42.
Тогда A+B−C=41040+468−42=41466.
Разложим 20!⋅21! на простые множители:
20!⋅21!=236⋅317⋅58⋅75⋅112⋅132⋅172⋅192
Пусть A - кол-во делителей данного числа, являющимися также и полными квадратами, B - точными кубами, C - и полными квадратами, и полными кубами, т.е. точными шестыми степенями, т.к. если некоторое число - полный квадрат, в его каноническом разложений (или разложений на простые сомножители), все степени простых чисел - четные, если точный куб - кратны трем, и выходит, все степени делятся и на 2, и на 3, а [2,3]=6.
По правилу включений и исключений, искомый икс в задаче равен A+B−C.
A) Если pα11...pαnn является делителем данного числа, то, {p1,..,pn}⊂{2,3,5,7,11,13,17,19}, и соответственно, степень простого числа делителя должно быть не больше степени этого же простого числа в каноническом разложений делимого числа. Если pα11...pαnn - полный квадрат, то ∀i,2|αi, для данных αi. Тогда, если d - соответствующий свойствам A делитель, то d=22α1⋅32α2⋅...⋅192α8, где, α1≤18,α2≤8,...,α8≤1, причем некоторые из αi-тых могут быть равны нулю. По правилу умножения комбинаторики, получаем, A=19⋅9⋅5⋅3⋅24.
B, C) Аналогично, B=13⋅6⋅3⋅2,C=7⋅3⋅2.
Ответ: 19⋅9⋅5⋅3⋅24+13⋅6⋅3⋅2−7⋅3⋅2=41466 делителей.
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.