Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

Математикадан аудандық олимпиада, 2020-2021 оқу жылы, 9 сынып


20!21! санының неше бөлгіштері толық квадраттар немесе толық кубтар болып табылады? (Кез келген n натурал саны үшін n! (n натурал санының факториалы) өрнегінің мәні 1-ден n-ге дейінгі барлық натурал сандардың көбейтіндісі ретінде анықталады, яғни n!=123(n1)n.)
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.    
Ответ. 82506.
Решение. Обозначим S=20!21!. Пусть A — число делителей S, являющиеся полным квадратом, B — полным кубом, C — полной шестой степенью. Тогда ответом задачи будет число A+BC. Разложим S на простые множители: S=20!21!=2363175875112132172192. Любой делитель числа S можно представить в виде 2a3b5c7d11e13f17g19h, где 0a36, 0b17, 0c8, 0d5, 0e2, 0f2, 0g2, 0h2. Делитель числа S будет точным квадратом, если показатели степеней простых чисел в его каноническом разложении будут кратны 2. Для показателя a существует всего 19 вариантов (a{0,2,4,,36}), для числа b 9 вариантов (b{0,2,4,16}), для c 5 вариантов (c{0,2,4,6,8}), для d 3 варианта (d{0,2,4}), для e 2 варианта (e{0,2}), для f 2 варианта (f{0,2}) для g 2 варианта (g{0,2}), для h 2 варианта (h{0,2}). По правилу произведения, A=199532222=41040. Аналогично, рассматривая возможные показатели, кратные 3, получим B=1363211111=468. И, наконец, рассматривая возможные показатели, кратные 6, получим C=732111111=42. Тогда A+BC=41040+46842=41466.

  5
4 года 2 месяца назад #

Разложим 20!21! на простые множители:

20!21!=2363175875112132172192

Пусть A - кол-во делителей данного числа, являющимися также и полными квадратами, B - точными кубами, C - и полными квадратами, и полными кубами, т.е. точными шестыми степенями, т.к. если некоторое число - полный квадрат, в его каноническом разложений (или разложений на простые сомножители), все степени простых чисел - четные, если точный куб - кратны трем, и выходит, все степени делятся и на 2, и на 3, а [2,3]=6.

По правилу включений и исключений, искомый икс в задаче равен A+BC.

A) Если pα11...pαnn является делителем данного числа, то, {p1,..,pn}{2,3,5,7,11,13,17,19}, и соответственно, степень простого числа делителя должно быть не больше степени этого же простого числа в каноническом разложений делимого числа. Если pα11...pαnn - полный квадрат, то i,2|αi, для данных αi. Тогда, если d - соответствующий свойствам A делитель, то d=22α132α2...192α8, где, α118,α28,...,α81, причем некоторые из αi-тых могут быть равны нулю. По правилу умножения комбинаторики, получаем, A=1995324.

B, C) Аналогично, B=13632,C=732.

Ответ: 1995324+13632732=41466 делителей.